1r ciclo Producto interno

[elmecama]

Buenas. Me dieron este ejercicio y la verdad es que no me doy cuenta de cómo encararlo.

Sea $B =[v_1, v_2, v_3 ]$ una base cualquiera de $R^3$. Existe un único producto interno tal que $B$ es una base ortogonal y además todos los vectores tienen norma igual a 2.

Tengo que demostrar si eso es verdadero o falso, si alguien puede darme una mano agradezco

[Richard R Richard]

Yo lo atacaría e este modo

defino $\vec v_1=(a,b,c)$

y $\vec v_2=(d,e,f)$

si son ortogonales se cumple que

$$\vec v_1\cdot \vec v_2=0=ad+be+cf$$

y si tienen norma 2 se cumple que

$$a^2+b^2+c^2=4$$

y

$$d^2+e^2+f^2=4$$

luego defines el tercer vector de la base a partir del producto vectorial


$\vec v_3=\vec v_1\times \vec v_2= \begin{vmatrix} \hat i &\hat j &\hat k\\ a & b & c\\d & e & f \end{vmatrix} = (bf-ec,cd-af,ae-bd)$

también se debe cumplir que

$$(bf-ec)^2+(cd-af)^2+(ae-bd)^2=4$$

tienes 6 variables independientes $a,b,c,d,e, f$ y solo 4 ecuaciones que las relacionan te quedan 2 grados de libertad así que no es una única base la que puede cumplir con el enunciado.

la definicion de $\vec v_3$ ya trae implicita que$\vec v_1\cdot \vec v_3=0$ y $\vec v_2\cdot \vec v_3=0$

[Weip]

Yo lo atacaría e este modo

defino $\vec v_1=(a,b,c)$

y $\vec v_2=(d,e,f)$

si son ortogonales se cumple que

$$\vec v_1\cdot \vec v_2=0=ad+be+cf$$

y si tienen norma 2 se cumple que

$$a^2+b^2+c^2=4$$

y

$$d^2+e^2+f^2=4$$

Fíjate que cuando escribes $\vec v_1\cdot \vec v_2=0=ad+be+cf$ estás presuponiendo que el producto escalar tiene la matriz identidad en la base del enunciado. Y ese producto escalar en principio no sabemos nada más aparte de que debe ser diagonal en esa base, en caso de que exista. Podría tener pesos. Es decir, entiendo que tratas de demostrar que "existe una base tal que es ortogonal y sus vectores tienen norma dos con el producto escalar estándar", y entiendo que no es ese el enunciado.

Sobre el ejercicio en sí yo lo interpreto de otra forma: cuando dice que la norma de todos los vectores tiene que ser dos entiendo que es la de todos los vectores de $\mathbb{R}^3$. Porque si fueran los de la base entonces sin necesidad de hacer ningún cálculo ya sabemos que el producto escalar sería $\text{diag}(4,4,4)$. En cambio si fueran todos los vectores de $\mathbb{R}^3$ entonces no podríamos tener un producto escalar así porque si por ejemplo defino el vector $v=3x$ donde $v$ y $x$ tienen norma dos entonces $2=||v||=3||x||=6$ por la definición de norma, cosa que es una contradicción y por tanto el enunciado sería falso.

Así que es un poco cómo se interprete el enunciado, si no me he equivocado (que ya hace tiempo que no me pienso cosas de estas).

[Richard R Richard]

Si Weip he tirado solo del producto escalar ordinario.

Y Tampoco tengo claro si se refiere a que todos los vectores del espacio tienen norma 2 o solo son los 3 vectores de la base los que la tienen. Si sucediera lo primero, ya el espacio imagen no lo veo como todo R3 sino un sub espacio de este , pues cualquier parámetro que mutiplique a un vector debería compenzarse con la coordenada de otro vector de la base a hacer producto interno si queremos mapear todo R3, pero que dichos vectores no pueden tener una coordenada mayor a 2 (sigo pensando como escalar ordinario, pero creo que aunque este no lo fuera) seria imposible que suceda.

por otro lado si arrancaba por suponer algún otro producto interno que defino su simbolo como $\odot$ y digo que

$$||v_1||^2=\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2 =4$$

haciendo fácil solo la diagonal

$$\vec v_1\odot\vec v_2=\alpha ad+\beta be+\gamma cf =0$$

para cumplir con las propiedades asociativas y distributivas del producto interno

entonces resulta

$$||v_2||^2=\alpha d^2+\beta e^2+\gamma f^2 =4$$

y ahora si flaqueo para demostrar si se cumple la ortogonalidad si aplico el producto vectorial de $v_1$ y $v_2$

entonces si fuera cierto

$$||v_3||^2=\alpha(bf-ec)^2+\beta(cd-af)^2+\gamma(ae-bd)^2=4$$

o algo no veo , o estoy sumando mas variables, y menos relaciones entre ellas, así que sería mas factible definir infinitos productos internos que satisfagan eso.

y si no lo defino a v3 por el producto vectorial igual debe cumplir y lo defino como

$\vec v_3=(g,h,i)$

entonces

$$||v_3||^2=\alpha g^2+\beta h^2+\gamma i^2 =4$$

además

$$\vec v_1\odot\vec v_3=\alpha ag+\beta bh+\gamma ci =0$$

y

$$\vec v_2\odot\vec v_3=\alpha cg+\beta dh+\gamma fi =0$$

y tendríamos 6 ecuaciones y 9 incógnitas es decir 3 grados de libertad para armar cualquier producto interno con($\alpha.\beta,\gamma)$arbitrarios

No se si la idea cierra. o si me salto alguna idea fundamental en lo que refiere al concepto de producto interno.

[Weip]

por otro lado si arrancaba por suponer algún otro producto interno que defino su simbolo como $\odot$ y digo que

$$||v_1||^2=\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2 =4$$

haciendo fácil solo la diagonal

$$\vec v_1\odot\vec v_2=\alpha ad+\beta be+\gamma cf =0$$

Usaré la notación $\langle , \rangle$ para el producto escalar, que es más habitual. Observa que tal como lo has escrito, tenemos $\alpha=\langle v_1, v_1\rangle=||v_1||^2=4$, $\beta=\langle v_2, v_2\rangle=||v_2||^2=4$ y $\gamma=\langle v_3, v_3\rangle=||v_3||^2=4$. Requiriendo que la base sea ortogonal ya hemos determinado el producto escalar: es la forma bilineal que tiene como matriz $\text{diag}(4,4,4)$ en la base $(v_1, v_2, v_3)$ (es su matriz de Gram; la métrica, si quieres usar ese lenguaje).

[Richard R Richard]

Ja que facil lo haces de ver, pero tuve que leerme media wikipedia para entenderlo, aunque mi definicion de producto interno es arbitraria, una diagonal, me dices entonces que para cualquiera otra que se me ocurra también hallaremos otra métrica, o esta metrica diagonal es la única que funciona, porque ahí ahora entiendo lo que pide el problema.

[Weip]

Ja que facil lo haces de ver, pero tuve que leerme media wikipedia para entenderlo, aunque mi definicion de producto interno es arbitraria, una diagonal, me dices entonces que para cualquiera otra que se me ocurra también hallaremos otra métrica, o esta metrica diagonal es la única que funciona, porque ahí ahora entiendo lo que pide el problema.

Aunque creo que lo entediste me explayo un poco más porque ciertamente me expliqué como un libro cerrado. De la misma manera que una aplicación lineal viene representada por una matriz en una cierta base, las formas bilineales como el producto escalar también. Para que la matriz represente un producto escalar bastará con ver que es simétrica y definida positiva una vez la tengamos, pero eso es fácil. Esta matriz tendrá componentes $G_{ij}=\langle v_i, v_j \rangle$ de manera que los elementos de la diagonal son normas al cuadrado y los de fuera de la diagonal son nulos porque el ejercicio pide que la base sea ortogonal. Además, el enunciado nos dice que los vectores de la base han de tener norma dos (aunque yo no interpreté eso y la resolución en el caso contrario la hice en mi primera intervención por si acaso) entonces los elementos de la diagonal dan cuatro (dos al cuadrado) y teniendo la matriz ya tenemos el producto escalar: $\langle u, v \rangle=u^T G v$ para dos vectores $u$ y $v$ cualesquiera. Así se recupera la expresión que tu habías puesto con $\alpha=\beta=\gamma=4$.

[Richard R Richard]

No te preocupes , tu ya lo habias dicho , escrito y explicado bien y con las palabras correctas, yo era el que no entendía y tuve que explorar un poco , para caer en cuenta que lo que debía saber era solo eso, lo que habías escrito, ni mas ni menos y facil de ver ahora que creo estar un poco ,mas informado