Sombra de la Luna

[teclado]

Hola,

Estaba intentando dibujar con un pequeño script las fases de la Luna. Para ello añado la imagen de la Luna llena, recorro todos sus píxeles obteniendo las coordenadas x e y en el plano perpendicular a la línea de visión y calculo la intensidad de la sombra, o más bien, la intensidad relativa a la original (la que hay en la imagen de la Luna llena).

Estaba bastante contento con el código hasta que me percaté de que me están saliendo intensidades relativas mayores que la unidad. Revisando, estoy usando la siguiente ecuación:

$\dst I_c=I\frac{\cos(\theta+\alpha)}{\cos(\theta)}$

Siendo $I_c$ la intensidad corregida y $I$ la intensidad del píxel original, $\alpha$ el ángulo que forma el Sol con la línea de visión y $\theta$ el que forma la proyección del punto (x,y) sobre la esfera de la Luna. Con la ayuda del diagrama siguiente (el vector unitario paralelo a la línea de visión tiene un subíndice V, aunque me salió un poco torcido :-)):

Obtengo dicha ecuación considerando que en un diferencial de superficie $\vec{\dd s}$ ocurre lo siguiente:

* La potencia de la luz que viene del Sol ($I_S\vec{\dd s}\hat{n_S}$) es la misma que la potencia que se reparte por la superficie ($I_0\vec{\dd s}\hat{n_0}$):

$<br /> \begin{aligned}<br /> I_S\vec{\dd s}\hat{n_S}&=I_0\vec{\dd s}\hat{n_0} \\<br /> I_S\dd s\cos(\theta-\alpha)&=I_0\dd s\\<br /> I_S\cos(\theta-\alpha)&=I_0<br /> \end{aligned}<br />$

* La potencia que se reparte por la superficie es proporcional a la que sale desde cada punto en la dirección de la línea de visión:

$<br /> \begin{aligned}<br /> aI_0\vec{\dd s}\hat{n_0}&=I_V\vec{\dd s}\hat{n_V} \\<br /> aI_0\dd s&=I_V\dd s\cos\theta \\<br /> aI_0&=I_V\cos\theta \\<br /> aI_S\cos(\theta-\alpha)&=I_V\cos\theta \\<br /> I_V &= aI_S\frac{\cos(\theta-\alpha)}{\cos\theta}<br /> \end{aligned}<br />$

Aquí $aI_S$ es precisamente la intensidad de cada píxel de la imagen original, sobre el que estoy aplicando la escala que menciono al principio.

Sin embargo, como menciono arriba, me salen intensidades mayores que la unidad en las regiones (iluminadas) con $\theta$ grande, lo cual me parece lógico dada la ecuación que estoy usando, pero que es físicamente imposible .

¿Alguien ve algún error?

Saludos.