Resolver problema de desigualdad

[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio:

El numero de diagonales d que se pueden trazar dentro de un polígono regular de n lados esta dado por la formula:

$d= \displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -n$

¿Cuántos lados debe tener un polígono regular para que se puedan trazar mas de 35 diagonales dentro de él?

Yo he hecho esto:

$\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -n >35$

$\displaystyle \dfrac{n^2+n}{2} -2 -35>0$

$\displaystyle \dfrac{n^2-n-70}{2} ->0$

Lo que implica ver cuando el numerador es mayor que cero ya el denominador siempre sera mayor que cero, pero las raices de la cuadratica no son numeros enteros asi que no llego al resultado que aparece en la guía que es 10 lados.

Saludos

[Alriga]

Hola tengo dudas con este ejercicio:

El numero de diagonales d que se pueden trazar dentro de un polígono regular de n lados esta dado por la formula:

$d= \displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -n$

ATENCION: Como explica Jaime Rudas en el post#3 esta fórmula matemática no es correcta, por lo tanto, el número máximo de lados que se deduce a continuación de ella, tampoco es correcto.

Lo que yo haría:

$\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -n =\dfrac{n^2}2-\dfrac n 2$

Resuelvo la ecuación de 2º grado:

$\dfrac{n^2}2-\dfrac n 2=35$

$\dfrac{n^2}2-\dfrac n 2-35=0$

Y obtengo

$n=\dfrac 1 2(1 \pm \sqrt{281})$

La raíz con valor positivo es:

$\dfrac 1 2(1 + \sqrt{281})=8.8815$

El primer numero natural n > 8.8815 es el 9. Por lo tanto el candidato a que se puedan trazar más de 35 diagonales es el polígono de 9 lados. Comprobamos:

$\displaystyle \dfrac{9(9+1)}{2} -9=36 > 35$ ¡Cumple!

Si probamos con un polígono de 8 lados:

$\displaystyle \dfrac{8(8+1)}{2} -8=28 < 35$ No cumple.

Luego la respuesta es: el polígono de 9 lados.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Hola tengo dudas con este ejercicio:

El numero de diagonales d que se pueden trazar dentro de un polígono regular de n lados esta dado por la formula:

$d= \displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -n$

¿Cuántos lados debe tener un polígono regular para que se puedan trazar mas de 35 diagonales dentro de él?

[...]

Lo que implica ver cuando el numerador es mayor que cero ya el denominador siempre sera mayor que cero, pero las raices de la cuadratica no son numeros enteros asi que no llego al resultado que aparece en la guía que es 10 lados.

Como lo mostró Alriga, resolviendo la inecuación resulta 9. ¿Por qué, entonces en la guía dice 10?: Porque el número de diagonales que se pueden trazar dentro de un polígono regular de n lados no es:

$d= \displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -n$

sino:

$d= \displaystyle \dfrac{n(n-3)}{2}$

que, al resolverla, nos da:

$\displaystyle \dfrac{n(n-3)}{2} = 35$

$\displaystyle n^2-3n-70 = 0$

De donde nos resulta n=10

Edito:

Para que en un polígono regular se puedan trazar más de 35 diagonales, ha de tener más de 10 lados.

Quizás la fórmula que viste no era:

$d= \displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -n$

sino:

$d= \displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -2n$

[Alriga]

...el número de diagonales que se pueden trazar dentro de un polígono regular de n lados no es:

$d= \displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -n$

sino:

$$\boxed{d= \displaystyle \dfrac{n(n-3)}{2}}$$

... Quizás la fórmula que viste no era:

$d= \displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -n$

sino:

$$\boxed{d= \displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2} -2n}$$

Gracias Jaime Rudas . ¿Te equivocaste al copiar la fórmula cristianoceli ?

Saludos.

[cristianoceli]

Gracias Jaime Rudas . ¿Te equivocaste al copiar la fórmula cristianoceli ?

Saludos.

No el ejercicio tenía una errata.

Saludos