Determinante

[Weip]

Re: Determinante

No lo veo, escribí eso mismo que he dicho.

Vale vamos allá.

Definamos una función determinante por la función $det: M_{nxn}(R) \rightarrow R$, con las propiedades:

$$det(I)=1$$

$$det(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det(u_1,...,u_k',...u_n)$$

$$det(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)=-det(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)$$

Fíjate que tu última propiedad es la alternancia adyacente y en la definición que yo di no está. No lo había comentado hasta ahora porque da un poco igual, lo que importa es tu demostración, pero es para situarnos. Así que todo bien.

Definamos dos funciones determinante, $det_1$ y $det_2$. Queremos ver si $det_1=det_2$

Aquí has escrito literalmente que supones que existen dos funciones determinante y quieres ver que de hecho son la misma, es decir, quieres demostrar la unicidad del determiante. En cambio ayer dijistes:

Lo que he querido comprobar es que, la unicidad de la función determinante para dos matrices, implica que la definición sea única también para cualquier otra matriz tal que en su fila haya una combinación lineal de las conocidas y tenga el resto de filas iguales, junto con el caso de la unicidad del caso de la matriz identidad (que es única por definición).

Es decir, que estás aceptando como hipótesis la unicidad del determinante, en contradicción con el mensaje #9, donde forma parte de las conclusiones. Además fíjate que el contenido de tu última cita es evidente: si el determinante es único para todas las matrices en particular lo es para una que has obtenido mediante transformaciones elementales a otra matriz. Si lo que quieres decir es que solo supones la unicidad del determinante para dos matrices concretas entonces no es lo que has escrito ni en la definición ni en la demostración, donde has supuesto elementos cualesquiera de $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.

Definamos dos funciones determinante, $det_1$ y $det_2$. Queremos ver si $det_1=det_2$
- I:

$$det_1(I)=1 \;\;\; det_2(I)=1 \;\;\; det_1(I)=det_2(I)$$

Esto está bien.

-

$$det_1(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det_1(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det_1(u_1,...,u_k',...u_n)$$

y

$$det_2(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det_2(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det_2(u_1,...,u_k',...u_n)$$

utilizando la hipótesis de inducción $det_1(u_1,...,u_k,...u_n)=det_2(u_1,...,u_k,...u_n) \;\;\; det_1(u_1,...,u_k',...u_n)=det_2(u_1,...,u_k',...u_n)$. Luego:

$$det_1(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=det_2(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)$$

-

$$det_1(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)=-det_1(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)=$$

$$=-det_2(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)=det_2(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)$$

Hablas de una hipótesis de inducción cuando aún no has comprobado el caso inicial (el típico $P(0)$). Además no está claro sobre qué haces la inducción, es decir, la propiedad que quieres demostrar habla sobre números naturales se supone, pero aquí el único natural es $n$ y en cambio la supuesta inducción no es sobre $n$. O al menos das a entender eso cuando dices más tarde:

Pero, me doy cuenta de que este método sólo sirve para los números naturales, puesto que así está axiomatizado.

Siguiendo con el anterior desarrollo, la hipótesis de inducción dice, literalmente, que la aplicación determinante de orden $n$ es única. Y eso es justamente lo que quieres demostrar según has dicho aquí:

Definamos dos funciones determinante, $det_1$ y $det_2$. Queremos ver si $det_1=det_2$

Como te dije mensajes más arriba esto se arreglaría fácil si hicieras inducción sobre $n$: la hipótesis de inducción sería $det_1(a_1,...,a_k)=det_2(a_1,...,a_k)$ donde $k=n-1$ (o $k=n$, como quieras). Que es un cambio de letra tonto, pero como no queda claro qué esquema de demostración estás usando pues lo digo. Finalmente haces unos pasos que consecuencia de lo anterior. Lo lógico, aunque estuviera mal como está, sería demostrar el caso $k$ o $k+1$ dependiendo del criterio que uses ($n$ o $n+1$ haciendo las aclaraciones pertinentes) pero no lo haces y te sales del esquema de inducción de repente.

No sé si me explico. Más allá de los cálculos lo que quiero decir es que en unos mensajes dices una cosa y en otros otra, y al final no entiendo cuál es tu objetivo.

[alexpglez]

Re: Determinante

Pretendo hacer lo mismo que hice aquí sobre la potencia: http://forum.lawebdefisica.com/threa...enciaci%C3%B3n

[Weip]

Re: Determinante

Pretendo hacer lo mismo que hice aquí sobre la potencia: http://forum.lawebdefisica.com/threa...enciaci%C3%B3n

Si intentas imitar lo que hiciste con las potencias entonces ¿cuál es tu caso inicial? Por el paralelismo parece que lo hayas hecho aquí:

Definamos dos funciones determinante, $det_1$ y $det_2$. Queremos ver si $det_1=det_2$
- I:

$$det_1(I)=1 \;\;\; det_2(I)=1 \;\;\; det_1(I)=det_2(I)$$

Si es esto, entonces no es correcto porque la matriz identidad ¿en qué sentido es un "caso inicial"? Parece que pretendes hacer una inducción sobre el número de matrices que existen, pero este es no numerable (entre otros problemas) y no puedes usar inducción. Entonces sí tendría sentido lo que has dicho aquí:

Pero, me doy cuenta de que este método sólo sirve para los números naturales, puesto que así está axiomatizado.

¿He dado en el clavo?

[alexpglez]

Re: Determinante

¿He dado en el clavo?

Por fin nos entendemos. Eso era lo que sospechaba que era incorrecto. Después de toda esta discusión, me gustaría ver alguna demostración de la unicidad del determinante, si nos pudieses pasar alguna demostración, por mi parte intentaré buscar.

- - - Actualizado - - -

Encontré este pdf: http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/alge.../Capitulo5.pdf
Aunque es un poco espeso (más que cualquiera que he leído), viene la demostración. Si tengo alguna duda ya pregunto en base al pdf.