Otras carreras Error algebráico

[danielandresbru]

Hola, se que puede parecer una pregunta tonta, pero quisiera saber donde está el error en esto


$<br /> \displaystyle \frac 1{\sqrt{x^2 -1}} =\frac 1{\sqrt{x^2 -1}}$


$<br /> \displaystyle \frac {\sqrt{-1}}{\sqrt{-1}} \frac 1{\sqrt{x^2 -1}} =\frac 1{\sqrt{-1(1-x^2)}}$


$<br /> \displaystyle \sqrt{-1} \frac 1{\sqrt{-1(x^2 -1)}} =\frac 1{\sqrt{-1}} \frac 1{\sqrt{(1-x^2)}}$


$<br /> \displaystyle \sqrt{-1} \frac 1{\sqrt{1-x^2}} =\frac 1{\sqrt{-1}} \frac 1{\sqrt{(1-x^2)}}$

$<br /> \displaystyle \sqrt{-1}=\frac 1{\sqrt{-1}}$

$<br /> \displaystyle \sqrt{-1}\sqrt{-1} = 1$


$<br /> \displaystyle -1= 1$

- - - Actualizado - - -

Disculpa ya vi donde está mi error, el producto de raices es igual a la raíz del producto, si la raíz existe

[Alriga]

Re: Error algebráico

Daniel, al hacer operaciones algebraicas con raíces hay que ser muy cuidadoso, si no, pasan cosas como ésta:

$-20=-20$

$16-36=25-45$

$16+\dfrac{81}{4}-36=25+\dfrac{81}{4}-45$

$\left (4-\dfrac 9 2 \right )^2=\left (5-\dfrac 9 2 \right)^2$

Haciendo la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad:

$4-\dfrac 9 2=5-\dfrac 9 2$

Que se simplifica, dando como resultado:

$4=5$

Saludos.

[alexpglez]

Re: Error algebráico

¿Desde un punto de vista lógico, el problema vendría de la doble solución de una raíz cuadrada ya que "elevar" no es una operación biyectiva?

[Alriga]

Re: Error algebráico

¿Desde un punto de vista lógico, el problema vendría de la doble solución de una raíz cuadrada ya que "elevar" no es una operación biyectiva?

Exacto, la función $y(x)=x^2$ como bien dices, no es inyectiva, (por lo tanto no puede ser biyectiva) ya que $\forall a \in \mathbb R \ , \ \ y(-a)=y(a)$ y evidentemente excepto para a=0 , $a \neq -a$

Saludos.

[Weip]

Re: Error algebráico

¡Hola!

Disculpa ya vi donde está mi error, el producto de raices es igual a la raíz del producto, si la raíz existe

Mejor dicho, eso es cierto para la función raíz cuadrada real, pero no es cierto en el caso complejo ya que la función raíz cuadrada compleja es discontínua (y esto es importante).

¿Desde un punto de vista lógico, el problema vendría de la doble solución de una raíz cuadrada ya que "elevar" no es una operación biyectiva?

Exacto, la función $y(x)=x^2$ como bien dices, no es inyectiva, (por lo tanto no puede ser biyectiva) ya que $\forall a \in \mathbb R \ , \ \ y(-a)=y(a)$ y evidentemente excepto para a=0 , $a \neq -a$

Saludos.

Dejando a parte que la función que aparece en la demostración falsa no es la raíz cuadrada real, cuando habláis de la función elevar al cuadrado se sobreentiende que habláis de la función $y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $y(x)=x^2$ pero hay que tener cuidado porque por ejemplo $y: \mathbb{R_{+}} \to \mathbb{R}$ definida por $y(x)=x^2$ sí es inyectiva. Y restringiendo la imagen a los reales positivos se obtiene una función $y(x)=x^2$ que es biyectiva con la raíz cuadrada real como inversa.

[alexpglez]

Re: Error algebráico

Entonces resumiendo, $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ sólo si $a,b \in R^+$