Ecuación de segundo grado

[Navegante21]

Hola amigos del foro, llevo varios días intentando ver cómo consiguen el resultado de una ecuación de segundo grado, os aseguro que lo he intentado todo, pero no puedo con ella. Si alguien me dijera por dónde tirar, sería fantástico. Muchísimas gracias de antemano. Los libros de la UNED me parecen malísimos, ya que encima se suponen que deben ser especialmente didácticos porque uno no tiene ni clases ni profes pero es la única posibilidad que tengo de estudiar.

Me dicen que la ecuación $(z-\frac{3}{2})^2 = \frac{-3}{2}+i$ se puede reescribir respecto a la nueva incógnita $z' =z -\frac{3}{2}$. Por tanto, $z'^2 = -\frac{3}{2}+i$
Luego me dicen directamente que las soluciones respecto a la nueva incógnita son $z'_1=-\frac{\sqrt{\sqrt{13}-3}}{2}-\frac{\sqrt{\sqrt{13}+3}}{2}i$ y $z'_2=\frac{\sqrt{\sqrt{13}-3}}{2}+\frac{\sqrt{\sqrt{13}+3}}{2}i$

De dónde sacan las soluciones, no tengo ni idea...

Es mi primera vez con látex, así que disculpadme si hay fallos..

[Abdulai]

Hay varias maneras, las mas generales son plantear $u+iv)^2 = u^2-v^2+2iuv = x+iy$ resolviendo un sistema de 2x2 que conduce a una ecuación bicuadrada o pasar a la forma polar $\left(R(cos\theta+i\sin\theta)\right)^2 = R^2\left(\cos2\theta+i\sin2\theta\right) = x+iy$
Pero si los valores no colaboran pueden resultar engorrosas.


Otra forma es aprovechar identidades como $\left(\displaystyle\sqrt{\dfrac{b+a}{2}}+i\displaystyle\sqrt{\dfrac{b-a}{2}}\right)^2 = a+i\displaystyle\sqrt{b^2-a^2}$
donde es inmediato que $a=-\frac{3}{2}$
y de ahi $b=\sqrt{1+a^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$

[Navegante21]

Muchas gracias Abdulai. Entiendo que me estás comentando eso para que yo siga investigando a partir de tu ayuda ¿no?
Porque realmente sigo sin entenderlo

[Abdulai]

¿Puntualmente qué es lo que no entendés?

No puedo adivinar qué métodos has visto.

[Navegante21]

Pues lo que no entiendo es qué sistema tendría que resolver, y tampoco entiendo cómo la identidad que has puesto puede servir para solucionar el problema.
El fallo es mío porque no tengo nivel, pero es que me da mucho coraje que en el libro de primero expliquen cosas muy tontas como resolver un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas de tercero de la ESO y luego pasos como éstos los dan por evidentes...

[Alriga]

Hemos de resolver

$z'^2=-\dfrac 3 2+i$


a) Creo que la forma más sencilla de resolver el ejercicio (pensando poco o casi nada) es hallar primero el modulo y el argumento de $z’^2$ teniendo en cuenta que este número complejo está en el segundo cuadrante, ya que su parte real es negativa y su parte imaginaria positiva

$|z’^2|=\dfrac{\sqrt{13}}{2}=1.802776$

$\tan \Big ( \angle z’^2 \Big )=-\dfrac 2 3$

$\angle z'^2=\pi-\arctan \dfrac 2 3=2.55359$

$z'^2=-\dfrac 3 2+i =\dfrac{\sqrt{13}}{2} \angle 2.55359=1.802776 \angle 2.55359$

Recordar cómo se halla la raíz cuadrada de un número complejo:

* El módulo de la raíz es la raíz del módulo

$|z’|=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}}2}=\sqrt{1.802776}=1.342675$

* El argumento de la raíz es la mitad del argumento más $k\pi$

$A=\angle z’=\dfrac{2.55359}2 + k \pi$

$k=0 \rightarrow A_1=1.276795$

$k=1 \rightarrow A_2=1.276795+\pi=4.418388$

Finalmente:

$z'_1=\vert z' \vert \cdot (\cos A_1 +i \sin A_1)=0.389086+1.285063 \ i$

$z'_2=\vert z' \vert \cdot (\cos A_2 +i \sin A_2)=-0.389086-1.285063 \ i$

Comprueba que las soluciones coinciden con las del solucionario del ejercicio.


b) La vía algebraica que acertadamente te propone Abdulai es partir de que, con “a” y “b” desconocidos:

$z’=a+b \ i$

$z’^2=(a+b \ i)^2=-\dfrac 3 2 + i$

$z’^2=a^2-b^2+2 a b i=-\dfrac 3 2 + i$

Igualando partes reales e imaginarias tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

$$a^2-b^2 =-\dfrac 3 2$$

$$2 a b=1$$

Despejando en (2)

$$b=\dfrac 1{2 a}$$

Sustituyendo en (1) y operando:

$4 a^4+6 a^2-1=0$

La solución de la ecuación bicuadrada (recuerda que una forma de resolverla, es hacer el cambio de variable $a^2=x$ , y resolver una ecuación de 2º grado)

$a=\pm \dfrac{\sqrt{\sqrt{13}-3}}2$

Con estos 2 valores de “a” halla los 2 valores de “b” mediante la ecuación (3) para acabar el ejercicio. Obtendrás.

$b=\pm \dfrac{\sqrt{\sqrt{13}+3}}2$

Saludos.

[Navegante21]

Muchísimas gracias a los dos. Así da gusto Alriga, ahora que lo has desmenuzado paso por paso si entiendo el planteamiento algebraico. Creo que Abdulai omitió pasos por considerarlos triviales (serán triviales para vosotros pero para mí no....).
el planteamiento de usar módulo y argumento no termino de entenderlo pero eso lo dejo para otra ocasión.

Repito, muchísimas gracias. Le pregunté a dos amigos que ya son licenciados en informática y tampoco tenían ni idea de dónde salían los números, así que tampoco debería desanimarme mucho por no entenderlo. Foros como éste hacen que uno tenga la posibilidad de seguir estudiando si hay voluntad, especialmente con los libros antididácticos que suele aportar la uned.

[Alriga]

...el planteamiento de usar módulo y argumento no termino de entenderlo pero eso lo dejo para otra ocasión...

Hola Navegante21 , nota que el planteamiento de usar módulo y argumento en ejercicios similares a éste es el más sencillo, pues se basa en los conocimientos que se adquieren en el bachillerato cuando se estudian los números complejos, te hago un recordatorio rápido

Un número complejo se puede expresar de forma binomial

$z=a+bi$

O en forma polar (módulo y argumento)

$z=M\angle A$

Que se relacionan entre si mediante las expresiones

$M=\sqrt{a^2+b^2}$

$A=\arctan \dfrac b a$

Y sus expresiones inversas

$a=M \cos A$

$b=M \sin A$

En bachillerato nos enseñaron que la raíz enésima de un número complejo es fácil calcularla a partir de la forma polar, ya que si

$z=a+bi=M \angle A$

Entonces

$\sqrt[n] z =\sqrt[n] M \ \angle \dfrac{A+2k\pi}n$

Es mi opinión personal que es mucho más importante para tu futuro académico que recuerdes esto que deberás aplicar otras veces, que no que recuerdes la resolución particular del ejercicio que inicia el hilo.

Saludos.

[Navegante21]

Alriga voy a seguir tu consejo y miraré lo de encontrar la raíz enésima de un número complejo en forma polar. En su momento lo estudié en Vitutor creo recordar, pero nunca llegué a entenderlo.
Momento para ponerse a ello.
La gente como tú ayudáis más de lo que pensáis.