Secundaria problema de vectores en el espacio

[geanpear]

Hola una ayuda con este problema


Tres vectores a, b y c forman un angulo de 60 grados entre si(dos a dos). si lal=4, lbl=2 y lcl=6. determine el modulo de R = a + b + c

Gracias

[Alriga]

Re: problema de vectores en el espacio

El problema parece muy fácil. ¿Qué has intentado?
Saludos.

[alexpglez]

Re: problema de vectores en el espacio

Hola, no hay que irse tan lejos para hallar el resultado, sólo usar la definición de módulo:
Voy a denotar el módulo con la letra sin el símbolo de vector para ahorrar escribir la doble barra, el módulo de un vector es:

$$a=\vert \vec a \vert = \sqrt{\vec a \cdot \vec a}$$

Luego utilizado al vector suma de los tres es:

$$\vec R= \vec a + \vec b + \vec c$$

$$R=\sqrt {(\vec a + \vec b + \vec c) \cdot (\vec a + \vec b + \vec c)}$$

Haces la multiplicación anterior y usas los ángulos para hallar cada producto escalar.

Saludos

[Alriga]

Re: problema de vectores en el espacio

Bienvenido a La web de Física geanpear, como nuevo miembro, por favor échale un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva
El problema se puede resolver fácilmente realizando 2 productos escalares. Como la única condición es que los 3 vectores estén en el espacio a 60º dos a dos, lo más fácil es situarlos por ejemplo así:

$\vec a=4 \ \vec i$

$\vec b=2 \cos 60^o \vec i+2 \sin 60^o \vec j=\vec i+\sqrt 3 \ \vec j$

$\vec c=c_1 \ \vec i+c_2 \ \vec j+ c_3 \ \vec k$

Por un lado hacemos

$\vec a \cdot \vec c=a_1 c_1+a_2 c_2+a_3 c_3$

Y por otro lado

$\vec a \cdot \vec c=a \cdot c \cdot \cos \phi$

Igualando ambas expresiones:

$4 \cdot c_1+0 \cdot c_2 + 0 \cdot c_3=4 \cdot 6 \cdot \cos 60^o$

$c_1=3$

Haciendo el otro producto escalar $\vec b \cdot \vec c$

$1 \cdot 3+\sqrt 3 \cdot c_2+ 0 \cdot c_3=2 \cdot 6 \cdot \cos 60^o$

$c_2=\dfrac{3}{\sqrt 3}$

Sabemos que el modulo de $| \vec c |=6$

$c_3=\sqrt{6^2-3^2-\dfrac{3^2}{3}}=\sqrt{24}$

$\vec c=3 \ \vec i+\dfrac{3}{\sqrt 3} \ \vec j+\sqrt{24} \ \vec k$

$\vec R=\vec a+\vec b+\vec c=(4+1+3) \ \vec i+(0+\sqrt 3+\dfrac{3}{\sqrt 3}) \ \vec j+(0+0+\sqrt{24}) \ \vec k$

$\vec R=8 \ \vec i+\dfrac{6}{\sqrt 3} \ \vec j+\sqrt{24} \ \vec k$

$R=\sqrt{64+12+24}=10$

Saludos.