Problema en el cálculo de los símbolos de Christoffel

[inakigarber]

Buenas noches;

Tengo un problema con el cálculo de unos símbolos de Christoffel, supongo que estoy aplicando mal la fórmula, pero no sé muy bien donde me estoy equivocando.
Supongamos que tenemos un tensor métrico como este;
$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & -a^2_{(t)} & 0 & 0 \\0 &0&-a^2_{(t)}f^2_{(\rho)} & 0\\0&0& 0 & -a^2_{(t)}f^2_{(\rho)}sen^2(\theta)\\\end{pmatrix}$
El objetivo del problema es el de calcular la ecuación de la métrica FLWR, para ello calcula primero las derivadas no nulas (en lo cual no tengo ningún problema), pero las cosas se me lían al calcular los símbolos de Christoffel de primer género.
Pongamos la primera derivada $\dfrac{\partial{g_{11}}}{\partial{x^0}}=-2a \dot a$
El símbolo de Christoffel que da como resultado según el autor es $\Gamma_{110}=\Gamma_{101}=-a\dot a$;
Bien, yo aplico la siguiente fórmula;

$$\Gamma_{ijk}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}+\dfrac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}-\dfrac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}\right)$$

$\Gamma_{110}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial g_{10}}{\partial x^1}+\dfrac{\partial g_{01}}{\partial x^1}-\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^0}\right)$.
Los elementos donde $i\neq j$ son nulos y sus derivadas también, por lo que solo me queda;
$\Gamma_{110}=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^0}\right)=\dfrac{1}{2}-(-2a \dot a)=a\dot a$.
Con lo cual me sale con el signo cambiado, el resto de los símbolos de Christoffel también me salen con el signo cambiado, por lo que ó bien me he equivocado, o bien la expresión obtenida en (1) está equivocada.

¿Podríais aclarármelo?

Saludos.

[inakigarber]

P.D. He vuelto a revisar mi post y creo que me he equivocado con la rotación de los índices cuando he aplicado la siguiente fórmula $\Gamma_{ijk}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}+\dfrac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}-\dfrac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}\right)$

[Richard R Richard]

P.D. He vuelto a revisar mi post y creo que me he equivocado con la rotación de los índices cuando he aplicado la siguiente fórmula $\Gamma_{ijk}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^i}+\dfrac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}-\dfrac{\partial g_{ki}}{\partial x^j}\right)$

Mmmm , creo que tienes mal la definicion de los indices,


$\Gamma^i_{jk}=\dfrac{1}{2}g^{in}\left(\dfrac{\partial g_{nk}}{\partial x^j}+\dfrac{\partial g_{nj}}{\partial x^k}-\dfrac{\partial g_{kj}}{\partial x^n}\right)$


$n$ es un indice dummy es decir toma valores de 0a3 o de 1a4 según definas , es decir cada christofell tiene 4 sumandos que son un producto del inverso de la componente del tensor por las suma y resta de derivadas parciales. En definitiva desarrollado consta de 12 terminos,cada simbolo 3 derivadas parciales por 4 dummys,


Como por cada $i$ hay solo un elemento de la diagonal no nulo siempre se puede sumar y obtener valores no triviales cuando $n=i$

Cuando esto sucede puedes escribir

$\Gamma^i_{jk}=\dfrac{1}{2}g^{ii}\left(\dfrac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}+\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}-\dfrac{\partial g_{kj}}{\partial x^i}\right)$

Pero esta ecuación ya no representa un sumatorio de Einstein , solo refleja los posibles tres términos no nulos por ser el tensor diagonal, ya que $g^{in}=0$ si $n\neq i$

Cuando la metrica tiene rotación torsión, es decir elementos fuera de la diagonal no nulos esto último no se cumple, entonces esta última fórmula del símbolo es incorrecta,



Saludos

[inakigarber]

Gracias por tu ayuda.

Me he dado cuenta de que el blog que estoy siguiendo que es este comete un error. En principio el blog parte de un tensor métrico como el que apunté en mi post inicial calcula el tensor inverso (lo cual no es más que calcular el inverso), calcula las derivadas no nulas y posteriormente los símbolos de Cristoffel de primer genero para más adelante mediante el tensor inverso calcular los simbolos de Christoffel de segundo genero y finalmente calcular los componentes de los tensores de Ricci y Einstein. Aún no he llegado tan lejos.

Creo que en el cálculo de los símbolos de Christoffel el autor comete un error del que no me habia dado cuenta ayer. Cuando dice "Con las derivadas parciales ya obtenidas podemos proceder al cálculo de los símbolos de Christoffel de primer género para la métrica de Friedmann:"

aparecen posteriormente dos tablas de símbolos de Christoffel. En la primera tabla establece una igualdad según la cual $\Gamma_{abc}=\Gamma_{acb}$, cuando estos símbolos son simétricos respecto a los dos primeros índices, pero no respecto a los segundos, por tanto $\Gamma_{ijk}=\Gamma_{jik}$, por tanto en la primera columna de la primera tabla deberían aparecer los subindices que aparecen en la segunda tabla y viceversa. Si es así, quisiera notificárselo al autor para que lo corrija en lo sucesivo, pero antes quiero estar seguro.

¿Es correcto lo que yo he comprobado?

Saludos.