Entendiendo tensores

[leo_ro]

Claro, tenemos la base del tensor y sus componentes. Aplican las propiedades de los vectores y por lo tanto un tensor es un vector.

La visión moderna del área un poco es que uno tiene objetos (espacios vectoriales en nuestro caso) y relaciones entre esos objetos (aplicaciones lineales). Se suele escribir como notación porque de alguna manera la aplicación lineal coge un vector del espacio de la izquierda y lo lleva a un nuevo vector que pertenece al espacio . De esta manera los tensores vendrían a coger un conjunto de vectores y formas, dando como resultado un escalar. Como escribí mensajes atrás, esto en notación se escribe . Recordar que todo cuerpo puede ser visto como un espacio vectorial sobre sí mismo, así que ese sigue siendo un objeto legítimo como cualquier otro para mandar nuestros vectores y formas.

Ahí estás definiendo un vector $T(q,p)$ donde q son los vectores contravariantes y p los covariantes. En ese caso tenemos la misma cantidad de vectores y formas.

Ultima pregunta 1: ¿Es posible que un tensor $T$ lleve los vectores y covectores a otros vectores? o ¿siempre la aplicación multilineal lo lleva al cuerpo de escalares o solo eso se da cuando q=p?

Ultima pregunta 2: El tensor campo electromagnético, es un tensor que se construye del producto tensorial del vector ${A}^{i}$ con el covector derivada ${\partial}_{i}$

¿Cómo entiendo ese tensor como una aplicación multilineal? ¿Qué vector "come" para llevarlo al cuerpo escalar?

[Weip]

Entiendo weip que estás diciendo que en determinados casos puedo reducir un tensor a un escalar. Por tanto la definición que dió leo de vector como la reducción de un tensor a un vector, aunque cierta es incompleta, también puede reducirse a un escalar, ¿no?

¿Es matemáticamente reversible y puedo transformar un escalar en un único tensor?

Hola javisot20, creo que lo estás malinterpretando. La única forma de reducir un tensor a un escalar tal cual suena es contrayéndolo con otro tensor. Pero lo que estoy diciendo no va por ahí. Solo digo que con la definición abstracta de vector, un tensor es un elemento del producto tensorial. Y como aplicación lineal manda vectores y formas a escalares. Nada más.

Hola leo_ro.

Ahí estás definiendo un vector $T(q,p)$ donde q son los vectores contravariantes y p los covariantes. En ese caso tenemos la misma cantidad de vectores y formas.

No tiene porqué ser la misma cantidad de vectores y formas, puedes definir un tensor del estilo $T:V \times V \times V^* \to K$. Este tensor come dos vectores y una forma.

Ultima pregunta 1: ¿Es posible que un tensor $T$ lleve los vectores y covectores a otros vectores? o ¿siempre la aplicación multilineal lo lleva al cuerpo de escalares o solo eso se da cuando q=p?

Sí, aunque entenderlo en profundidad es un poco largo. Como aplicaciones multilineales un tensor se entiende que va a un escalar, pero por ejemplo cuando tienes un espaciotiempo curvo el tensor de Riemann es capaz de coger 3 campos vectoriales y mandarlo a otro campo vectorial. Si $\mathfrak{X}(M)$ es el espacio de todos los campos vectoriales, entonces el tensor de Riemann es una aplicación $R:\mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)$. Puedes ver algún detalle más de esta definición en Wikipedia. Observa que este tensor no es de rango 3 sino de rango 4, y por eso lleva 4 índices.

Ultima pregunta 2: El tensor campo electromagnético, es un tensor que se construye del producto tensorial del vector ${A}^{i}$ con el covector derivada ${\partial}_{i}$

Yo nunca lo he visto así como lo describes, pero quizás te refieres a la definición siguiente:

$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$

El tensor de campo electromagnético es $F_{\mu\nu}$ y el campo electromagnético (cuadripotencial si quieres) es $A_{\mu}$. Desde el punto de vista de la física es un tensor de rango 2, desde las matemáticas te lo puedes pensar como una 2-forma diferencial dada por:

$F=dA$

Aquí el campo electromagnético ha sido reescrito como una 1-forma diferencial $A$ y $d$ es la derivada exterior. Las dos definiciones que he puesto son exactamente la misma, si desarrollas la segunda en componentes obtienes la primera.

¿Cómo entiendo ese tensor como una aplicación multilineal? ¿Qué vector "come" para llevarlo al cuerpo escalar?

En un contexto de álgebra, sí, lo has de entender como una aplicación que come vectores y formas y te da escalares. Como el producto escalar, que come dos vectores y te da un número. Ahora bien si quieres hablar del tensor de campo electromagnético, campos y cosas así es mejor pensar como decía carroza: tienes un tensor que transforma bajo la acción de un grupo de Lie, y pides que las teorías físicas sean invariantes por según qué transformaciones de estos grupos. Esta lógica es la que se sigue en física de partículas para describir las interacciones, por ejemplo. Esto lo comento un poco porque has sacado lo del tensor de campo electromagnético pero no hace falta ir tan lejos, en mecánica clásica o en cuántica los generadores de los grupos tienen un papel importante.