1r ciclo Producto vectorial

[propanotriol]

El enunciado es que tengo que mostrar que si u y v son linealmente independientes, el producto vectorial: $((uxv)xu)x(vx(uxv)) \neq 0$

Me han dicho que hay que resolverlo por una reducción al absurdo, pero no llego... o es porque lo hago mal o algo, desarrollo los dobles productos pero luego no sé seguir.

¿Cómo debería seguir tras los dobles productos?

Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Producto vectorial

habras querido poner

$((\mathbf u\times \mathbf v)\times\mathbf u)\times(\mathbf v\times(\mathbf u\times \mathbf v)) \neq 0$

si haces

$\mathbf u=\alpha\mathbf v\quad\Rightarrow\quad \mathbf u\times\alpha\mathbf v=\vec 0 \quad\Rightarrow\quad ((\mathbf u\times \mathbf v)\times\mathbf u)\times(\mathbf v\times(\mathbf u\times \mathbf v)) = 0$

tendrias que probar lo contrario que si no es lineal mente dependiente entonces debe ser distinto de 0

puedes valerte de

$$\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) = \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c (\mathbf a \cdot \mathbf b)$$

, regla de la expulsión.

$$\left(\mathbf a \times \mathbf b \right)\times \mathbf c =-\mathbf c \times \left(\mathbf a \times \mathbf b \right) =\mathbf b \left( \mathbf a \cdot\mathbf c\right)-\mathbf a \left( \mathbf b \cdot\mathbf c\right)$$

$$\mathbf a \times \left(\mathbf b \times \mathbf c \right) \neq\left(\mathbf a \times \mathbf b \right)\times \mathbf c$$

$$\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) + \mathbf c \times (\mathbf a \times \mathbf b ) + \mathbf b \times (\mathbf c \times \mathbf a ) = \mathbf 0$$

, identidad de Jacobi

con la propiedad asociativa y distributiva de vectores

$$(\mathbf a \pm \mathbf b) \times \mathbf c=\mathbf a \times \mathbf c \pm \mathbf b \times \mathbf c$$

$$(\mathbf a \times \mathbf b)=-1(\mathbf b \times \mathbf a)$$

igualmente la primer parte de tu ecuacion es aplicando la regla 2

$$(\mathbf u\times \mathbf v)\times\mathbf u=\mathbf v \left( \mathbf u \cdot\mathbf u\right)-\mathbf u \left( \mathbf v \cdot\mathbf u\right)=\mathbf v u^2-\mathbf u uv$$

y la segunda

$$\mathbf v\times(\mathbf u\times \mathbf v)=-1((\mathbf u\times \mathbf v)\times\mathbf v)$$

por regla 6

que se convierte en

$-1((\mathbf u\times \mathbf v)\times\mathbf v)=-1(\mathbf v \left( \mathbf u \cdot\mathbf v\right)-\mathbf u \left( \mathbf v \cdot\mathbf v\right))$ por regla 2

distribuyendo

$$\mathbf v\times(\mathbf u\times \mathbf v)=\mathbf u \left( \mathbf v \cdot\mathbf v\right)-\mathbf v \left( \mathbf u \cdot\mathbf v\right)=\mathbf u v^2-\mathbf v uv$$

entonces $((\mathbf u\times \mathbf v)\times\mathbf u)\times(\mathbf v\times(\mathbf u\times \mathbf v))=$$(\mathbf v u^2-\mathbf u uv)\times (\mathbf u v^2-\mathbf v uv)$

distribuyendo se cancelan los productos vectoriales linealmente dependientes ( el mismo vector por un escalar)

$=\cancel{[\mathbf v u^2 \times -\mathbf v uv]}+[\mathbf v u^2\times \mathbf u v^2]+[-\mathbf u uv\times -\mathbf v uv]+\cancel{[ \mathbf u uv\times \mathbf u v^2]}=$

$=u^2v^2[\mathbf v\times \mathbf u]+u^2v^2[\mathbf u\times \mathbf v]$ y aplicando la regla 6

$=\cancel{u^2v^2[\mathbf v\times \mathbf u]}\cancel{-u^2v^2[\mathbf v\times \mathbf u]}=0$

por lo que no habría ningún absurdo que demostrar nunca sería distinto de 0 pero puedo estar equivocado en alguna parte de la deduccion....




saludos

[propanotriol]

Re: Producto vectorial

Hay que ir con malas intenciones para preguntar eso en un examen... haha. Muchas gracias RRR. Otro error mío es que creía que no se podía distribuir el producto cruz.

Un saludo.

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Acabo de realizar un ejemplo, con 2 vectores linealmente independientes , y me da que es diferente de cero.

Usando esta calculadora: http://es.onlinemschool.com/math/ass...tor/multiply1/

Con los vectores:
u(1,3,5)
v(2,2,6)

[Alriga]

Re: Producto vectorial

Acabo de realizar un ejemplo, con 2 vectores linealmente independientes , y me da que es diferente de cero.

Usando esta calculadora: http://es.onlinemschool.com/math/ass...tor/multiply1/

Con los vectores:
u(1,3,5)
v(2,2,6)

Pareces sorprendido,...

Pero eso es justo lo que dice el enunciado, que si los 2 vectores son linealmente independientes, el producto vectorial ha de ser diferente de cero.
Saludos.

[propanotriol]

Re: Producto vectorial

Pero la demostración de RRR concluye que debe ser nulo o ¿me estoy liando solo?

[Richard R Richard]

Re: Producto vectorial

hola propanotriol, el problema era sencillo, y ahora es doble, demostrar lo que quieres y encontrar donde me equivoque.....

Hay que ir con malas intenciones para preguntar eso en un examen... haha. Muchas gracias RRR. Otro error mío es que creía que no se podía distribuir el producto cruz.

Un saludo.

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Acabo de realizar un ejemplo, con 2 vectores linealmente independientes , y me da que es diferente de cero.

Usando esta calculadora: http://es.onlinemschool.com/math/ass...tor/multiply1/

Con los vectores:
u(1,3,5)
v(2,2,6)

por ello aclare que probablemente me equivoque... si hubiese chequeado un resultado sencillo $\mathbf u=(1,0,0)$ y $\mathbf v=(0,1,0)$ donde

$((\mathbf u\times \mathbf v)\times\mathbf u)\times(\mathbf v\times(\mathbf u\times \mathbf v)) =(0,0-1)$

así que sin mas me dedico ha aclararlo... cuando lo tenga lo posteo, disculpa el entuerto, espero que las relaciones que subi sean ciertas...


Edicion 3... no lo veo.. se que esta mal pero no veo error. seguro un paso no se puede aplicar, pero cual...

[Weip]

Re: Producto vectorial

Hola a todos, vengo a aportar mi granito de arena. Creo que he encontrado el error en el planteamiento de Richard.

$$(\mathbf u\times \mathbf v)\times\mathbf u)=\mathbf v \left( \mathbf u \cdot\mathbf u\right)-\mathbf u \left( \mathbf v \cdot\mathbf u\right)=\mathbf v u^2-\mathbf u uv$$

Aquí usas una notación un poco confusa porque pones $uv$ en vez de $u \cdot v$. Parece ser que a causa de esto en los pasos finales confundes el producto escalar $u \cdot v$ con el producto de módulos $|u||v|$.

distribuyendo se cancelan los productos vectoriales linealmente dependientes ( el mismo vector por un escalar)

$=\cancel{[\mathbf v u^2 \times -\mathbf v uv]}+[\mathbf v u^2\times \mathbf u v^2]+[-\mathbf u uv\times -\mathbf v uv]+\cancel{[ \mathbf u uv\times \mathbf u v^2]}=$

$=u^2v^2[\mathbf v\times \mathbf u]+u^2v^2[\mathbf u\times \mathbf v]$ y aplicando la regla 6

$=\cancel{u^2v^2[\mathbf v\times \mathbf u]}\cancel{-u^2v^2[\mathbf v\times \mathbf u]}=0$

Como $u$ y $v$ son linealmente independientes tenemos que (usando tu notación) $uv=0$ por lo que $[-\mathbf u uv\times -\mathbf v uv]=0$. Al final nos queda $u^2 v^2 (v \times u)$, que es distinto de cero.

Igual Richard ha dado mucha vuelto con Jacobi y demás, realmente con los pasos (1), (7), (9) y mi comentario final se completa la prueba. Espero haber ayudado.

Edito: Ahora que me fijo yo también me he equivocado jajaja si $u$ y $v$ son LI su producto escalar no tiene porqué ser cero. Aún así al final queda $u^2 v^2 (v \times u)+(u \cdot v)^2 (u \times v)$ que es distinto de cero. Perdonad el lío. Repasadme bien lo que digo por si acaso.

[Richard R Richard]

Re: Producto vectorial

$=\cancel{[\mathbf v u^2 \times -\mathbf v uv]}+[\mathbf v u^2\times \mathbf u v^2]+[-\mathbf u uv\times -\mathbf v uv]+\cancel{[ \mathbf u uv\times \mathbf u v^2]}=$

$=[\mathbf v u^2\times \mathbf u v^2]+[-\mathbf u uv\times -\mathbf v uv]=$

que es en realidad

$=[\mathbf v u^2\times \mathbf u v^2]+[-\mathbf u (\mathbf u\cdot \mathbf v)\times -\mathbf v (\mathbf u\cdot \mathbf v)]=u^2v^2[\mathbf v\times \mathbf u]+(\mathbf u\cdot \mathbf v)^2(\mathbf u \times \mathbf v )$

$=\left [(\mathbf u\cdot \mathbf v)^2-u^2v^2\right ](\mathbf u \times \mathbf v )$

como

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}= u \, v \, \cos \theta \leftrightarrow |\cos \theta| = 1 \leftrightarrow \mathbf u\parallel \mathbf v \Rightarrow |\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| = |\mathbf u|\,|\mathbf v|$

entonces

$(\mathbf u\cdot \mathbf v)^2-u^2v^2=u^2v^2\cos^2 \theta-u^2v^2\neq 0 \quad \forall \theta \notin [0],[\pi]$

entonces esa resta de términos solo sera nula cuando $\theta=0$ o $\theta=\pi$ osea cuando son linealmente dependientes.
Por ahí vienen los tiros.

[propanotriol]

Re: Producto vectorial

Muchísimas gracias a los tres, y disculpa las molestias RRR.

Un placer leer vuestras respuestas.