Divulgación ¿Qué tan corta puede ser una Banda de Möbius para que no tenga autointersección?

[Alriga]

Todos hemos hecho alguna vez una cinta de Moebius. Se recorta un rectángulo de papel de ancho $x$ y longitud $z$ se dobla en forma de cilindro como para unir los lados $x$ el uno con el otro y entonces uno de los lados $x$ se retuerce 180º y se encola con su homólogo.

Y es posible que alguno de vosotros (yo lo había hecho), se haya preguntado, ¿qué tan corto puede ser el lado largo $z$ respecto del corto $x$ para que pueda retorcer y unir la banda sin autointersecciones? Hay bibliografía de que, en 1977 los matemáticos Charles Weaver y Benjamin Halpern conjeturaron que la respuesta es $z \geq \sqrt 3 \ x$ pero que no lograron demostrarlo. Yo no tengo ni idea de si la demostración podría ser fácil o difícil para matemáticos profesionales, pero yo hubiese apostado que no debería ser de las difíciles. Sin embargo parece ser que sí debía ser de la difíciles, puesto que en 45 años nadie lo había demostrado… hasta ahora.

El matemático Richard Evan Schwartz ha publicado en arxiv el preprint de la demostración con el título “The Optimal Paper Moebius Band” en el que dice demostrar que la conjetura de Weaver y Halpern es correcta y por lo tanto $\boxed{z \geq \sqrt 3 \ x}$

Fuente: Mathematicians Solve A Key Möbius Strip Problem, After Almost 50 Years of Searching

Bienvenidas sean opiniones y comentarios, saludos

[Richard R Richard]

Hola, creo que conociendo un poco lo que dice el diario del lunes, pude ver que iba a pasar el domingo... la idea es plegar el papel $1/2x$ para que los lados $x$ queden invertidos, por lo que la diagonal del rectángulo resulta tener longitud $2x$ y sabiendo que el ancho es x , por Pitágoras z el largo debe ser $x\sqrt3$

Se dividen los ángulos opuestos a una diagonal en tres ángulos iguales, se pliega por el primer ángulo mas externo, amarillo y luego magenta, y se vuelve a plegar por el rojo, así queda claro que el ángulo sin plegar es $2/3$ de un recto y que la diagonal tiene justo $2x$ mas el espesor del papel. Todo plegado queda un triangulo equilátero de lado $2x /\sqrt3$ , no veo como se pueda comprimir mas, pero no se como se demuestra es un mínimo. Lo veo bastante optimizado.

Saludos

[Weip]

Curiosísimo, me ha recordado cuando estaba en bachillerato probando este tipo de cosas empíricamente, haciendo la banda de Möbius a papel. He ojeado por encima el paper y la demostración no es sofisticada, se podría haber hecho hace 50 años, pero aún teniendo las herramientas a veces simplemente nadie cae en ello. Desde luego yo nunca pasé de hacer bandas de Möbius con papel y celo.