1r ciclo Aplicaciones inducidas

[Alofre]

Buenos días,

estaba intentando entender como funciona esto de las aplicaciones inducidas entre espacios tangentes en el libro de Nakahara "Topología, Geometría y Física" y me he quedado al final de la justificación un poco trabado, agradecería si alguien me esclarece un poco el panorama. Voy a intentar describir el problema:

Sean M y N dos variedades diferenciables y $f:M \rightarrow N$ y $G:N \rightarrow \mathbb{R}$. Por ser variedades diferenciables existen cartas $(U,\varphi);(U',\psi)$ para cada variedad respectivamente que llevan puntos de esa variedad al espacio euclídeo, que para M represento como $x^i$ y para N es $y^j$.

Entonces está claro que $G \circ f: M \rightarrow \mathbb{R}$. Sea $V \in T_pM$ un vector del espacio tangente en p de M. Entonces definimos una aplicación
$f_* T_pM \rightarrow T_{f(p)}N, \quad f_*V [G] \equiv V[G \circ f]$
En coordenadas:
$f_*V [G\circ \psi^{-1}(y)] \equiv V[G \circ f \circ \varphi^{-1}(x)]$
y descomponiendo los vectores en componentes:
$W^j\frac{\partial}{\partial y^j}[G\circ \psi^{-1}(y)] = V^i\frac{\partial}{\partial x^i}[G \circ f \circ \varphi^{-1}(x)]$


Ahora el problema viene porque el libro dice: ahora tomamos $G=y^j$. ¿Eso como funciona? $y$ son coordenadas del espacio euclídeo, y $G$ es una función, no le veo mucho sentido.
Y después te suelta esto, que tan poco lo veo claro:
$W^\alpha=V^\mu \frac{\delta}{\partial x^\mu} y^\alpha(x)$

Agradecería mucho que alguien me ayudase a entender estos pasos que parecen triviales pero no acabo de entenderlos...

[Weip]

Hola Alofre.

Ahora el problema viene porque el libro dice: ahora tomamos $G=y^j$. ¿Eso como funciona? $y$ son coordenadas del espacio euclídeo, y $G$ es una función, no le veo mucho sentido.

Si $V$ es un abierto de $N$, entonces las coordenadas son una aplicación $y:V\to \mathbb{R}^n$. Sucede que esto es muy formal, así que es habitual identificar $V$ con $\mathbb{R}^n$ a través de una carta local $\psi$. De esta manera, decimos como lenguaje que $y$ son las coordenadas de $V$, identificando un punto de $V$ con sus coordenadas $y$ en $\mathbb{R}^n$. En el Nakahara se identifica $y$ con $\psi$ en la frase anterior, de manera que hacer $g=y^j:N\to \mathbb{R}$ es totalmente legal pues, originalmente, $y^j$ son funciones. Otra cosa es que, intuitivamente, prefiramos identificar $y^j$ con su imagen por comodidad.

Y después te suelta esto, que tan poco lo veo claro:
$W^\alpha=V^\mu \frac{\delta}{\partial x^\mu} y^\alpha(x)$

Entendiendo esto, la sustitución es directa pues a la izquierda el argumento de la derivada queda $y^j$ y al operar queda $1$. A la derecha cambia la notación pero no hace nada realmente.

[Alofre]

Perdón, creo que me error viene de más lejos. ¿Porqué $V[G circ f]$ \in T_{f(p)}N como requiere la definición de $f_*$? Es decir, $G\circ f : M \rightarrow \mathbb{R}$ no?

Gracias y disculpa las molestias

[Weip]

Hola de nuevo.

Perdón, creo que me error viene de más lejos. ¿Porqué $V[G circ f]$ \in T_{f(p)}N como requiere la definición de $f_*$? Es decir, $G\circ f : M \rightarrow \mathbb{R}$ no?

$G\circ f : M \rightarrow \mathbb{R}$ es correcto, por tanto $G\circ f \in \mathcal{F}(M)$. Ahora, el libro escribe $f_*:T_pM\to T_{f(p)}N$ como una aplicación que asigna a cada vector tangente $V\in T_pM$ su imagen $f_*V\in T_{f(p)}N$. Como vector tangente a $N$, $f_*V$ es una derivación, esto es, una aplicación lineal que come funciones y te da escalares respetando la regla del producto. En símbolos, $f_*V:\mathcal{F}(N)\to \mathbb{R}$. Por tanto la definición $f_*V[G]=V[G\circ f]$ es totalmente correcta pues $f_*V$ es un vector tangente que come funciones $G \in \mathcal{F}(N)$ y devuelve un escalar y, revisando la parte de la derecha, $V$ es un vector tangente de $M$ en $p$, que también come funciones $g \in \mathcal{F}(N)$, compone con $f$ y devuelve un escalar. Observa que la función de la derecha es $V[\cdot \circ f]$ y no $V[\cdot]$ tal cual: $V:\mathcal{F}(M)\to \mathbb{R}$ mientras que $V[\cdot \circ f]:\mathcal{F}(N) \to \mathbb{R}$, estando $f$ fija. Es decir, la variable es $G$, no $G\circ f$. De aquí se sigue que $V[\cdot \circ f]$ es un vector tangente a $N$ en $f(p)$.

Entiendo que la notación es muy sutil así que pregunta lo que quieras y lo solucionamos.

[Alofre]

Hola,

vale ahora lo entiendo mucho mejor, mil gracias! Entre tanto vector/aplicación/espacio es un poco confuso.

Lo que sigo sin ver es la pregunta inicial, como se sustituye G e y para dar el resultado final, tanto en el sentido de porqué es legal como para hacer el ultimo paso.

Muchas gracias

[Weip]

vale ahora lo entiendo mucho mejor, mil gracias! Entre tanto vector/aplicación/espacio es un poco confuso.

Los vectores tangentes tienen distintas interpretaciones. En el fondo son las mismas, pero conviene nombrar las que estamos tratando aquí:

a) $V$ es un vector tangente de $T_pM$, por tanto es un vector en tanto que $T_pM$ es un espacio vectorial. Son las flechas a las cuales estamos acostumbrados.

b) $V$ es una derivación, es decir, un operador que deriva funciones. Esto es porque los vectores marcan direcciones, por lo que es posible hacer derivadas direccionales. Más formalmente, $V:\mathcal{F}(M)\to \mathbb{R}$ es una aplicación lineal que cumple la regla del producto:

$V(fg)=(V(f))g(p)+f(p)V(g(p))$

Que no te engañen las notaciones: $V$ no deja de ser un operador diferencial que normalmente denotarías como $D$, y $f_*$ no deja de ser el archiconocido diferencial, que usualmente denotarías por $df$. Pasa que el Nakahara querrá hacer unas conexiones más adelante y le conviene más usar estas notaciones para matar dos pájaros de un tiro. Pero otros libros usan la notación $df$ de toda la vida.

Lo que sigo sin ver es la pregunta inicial, como se sustituye G e y para dar el resultado final,

$G$ es una aplicación que a cada punto de $N$ le asigna un número real, es decir, $G:N\to \mathbb{R}$. Por otro lado, las coordenadas $y$ es una aplicación que a cada punto de $N$ (en realidad, a cada punto de un abierto de $N$) asigna una tupla de numeros reales, que es la idea intuitiva que tenemos todos de coordenadas. Esto es, es una aplicación $y:N\to\mathbb{R}^n$. Ahora, si cogemos una componente concreta $y^j$, podemos pensarla como que lleva un punto de $N$ a un número real, quedando una aplicación con el mismo dominio e imagen que $G$. A su vez $G$ es una función y es variable, así que puedo evaluarla en cualquier función que se me ocurra, en particular en $y^j$, entendiendo "función" en esta frase como "elemento de $\mathcal{F}(N)$". De esta manera la sustitución $G=y^j$ no presenta ningún problema conceptual pues $y^j$ es y siempre fue una función. Pasa que cuando aprendemos qué son las coordenadas en contextos más elementales no le damos muchas vueltas pues solemos trabajar en $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$. Pero para hacer variedades diferenciables en general sucede que no existen unas coordenadas globales en ella, así que hay que promover las coordenadas a funciones para que todo cuadre, y enviar "un cachito de $N$" (un abierto) a $\mathbb{R}^n$ para poder hablar de coordenadas.

tanto en el sentido de porqué es legal como para hacer el ultimo paso.

Como hemos repasado antes los vectores tangentes $V$ y $f_*V$ son derivaciones y a su vez vectores, por tanto pueden ser escritos como combinación lineal de la base (usando tu notación):

$V=V^{i}\dst\frac{\partial}{\partial x^{i}}$

$f_*V=W^{j}\dst\frac{\partial}{\partial y^{j}}$

Estoy usando el convenio de sumación de Einstein que entiendo que estarás familearizado con él: índices repetidos arriba y abajo se suman. Aquí $\partial/\partial x^{i}$ y $\partial/\partial y^{j}$ son dos bases distintas del espacio tangente por lo que $V^{i}$ son las coordenadas de $V$ en la base $\partial/\partial x^{i}$ y $W^{j}$ son las coordenadas de $f_*V$ en la base $\partial/\partial y^{j}$. El Nakahara escribe:

$W^{j}\dst\frac{\partial}{\partial y^{j}}[G\circ \psi^{-1}(y)]=V^{i}\dst\frac{\partial}{\partial x^{i}}[G\circ f \circ \phi^{-1}(x)]$

En la anterior expresión $\phi$ y $\psi$ son cartas locales que cogen un punto de la variedad y le asignan sus coordenadas. Fíjate que hacen lo mismo que $x$ e $y$ como aplicaciones, siendo sus diferencias puramente conceptuales: $y$ es coordenada, $\psi$ es la carta, y $y=\psi$ por definición. También sirve para que al definirlas dejamos muy claro que $\psi^j$ son contínuas y se pueden invertir (son homeomorfismos; cómo no sé exactamente si has dado topología o no, lo dejamos así). Con esto quiero aclarar el porqué el Nakahara utiliza $y^j=\psi^j$ sin decir mucho al respecto, pues es la definición de $\psi^j$. De esta manera $g\circ \psi^{-1}(y)=y^j\circ \psi^{-1}(y)=\psi^j\circ \psi^{-1}(y)=y^j$ de manera que $\partial y^j / \partial y^j=1$. En la parte de la derecha no hace nada, pues $G \circ f \circ \psi^{-1}(x)=y^j \circ f \circ \psi^{-1}(x)=y^j(x)$ de forma directa. Así pues se llega a:

$W^j=V^i\dst\frac{\partial y^j}{\partial x^i}(x)$

Finalmente una cosilla que quizás debería haber dicho desde el primer mensaje: en el foro no se pueden poner en LaTeX creo recordar, pero todos estos temas de aplicaciones dibújatelos con diagramas a lápiz y papel. Por ejemplo algo como esto: https://i.stack.imgur.com/6HAKS.png (tuve problemas al poner la imagen así que paso link). En vez de $A$ y $B$ escribe $M$ y $N$, luego la aplicación $f$, las cartas, y abajo $\mathbb{R}^m$ y $\mathbb{R}^n$. Quizás todo esto ya lo haces y entonces me callo ya, pero es solo por si acaso porque no sé muy bien el background del que partes, entiendo que estudiaste física pero no sé si has hecho matemáticas puras anteriormente o no, no sé si lo estudias de manera autodidacta o no, así que por si acaso dejo el consejo. De esta manera es mucho más fácil entender la composición de funciones.

[Alofre]

Hola,

¡ya o he entendido perfectamente! Muchas gracias por haberte tomado la molestia, ahora está mucho más claro.