1r ciclo Números naturales

[The Higgs Particle]

He visto que los números naturales cumplen todas las propiedades de la suma y el producto que permitirían definirlo como estructura anillo excepto la existencia de un inverso aditivo.
Por lo tanto, se puede concluir que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] no es un anillo, ¿no?

[Alriga]

Re: Números naturales

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] no es ni siquiera Grupo, pues no tiene elemento opuesto por la suma. Si ya no es Grupo, es imposible que sea Anillo, pues un Anillo es un Grupo con otras propiedades adicionales.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] sí es anillo

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Números naturales

La cosa es que no nos han hablado de grupos, sino sólo de conjuntos de la forma $(A, +, \cdot)$, pero como sé que tenemos un hilo de grupos que abrí, lo miraré

[Alriga]

Re: Números naturales

La cosa es que no nos han hablado de grupos, sino sólo de conjuntos de la forma $(A, +, \cdot)$, pero como sé que tenemos un hilo de grupos que abrí, lo miraré

Sí, lo recuerdo, era éste: http://forum.lawebdefisica.com/threa...%ADa-de-Grupos

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Números naturales

Tengo una duda. He releído las propiedades de los grupos y de los abelianos. Así, para ser un anillo, $(A,+)$ debe ser un abeliano y $(A, \cdot)$ ser asociativo y distribuivo con respecto a la suma, pero en mis apuntes, además, incluye el elemento neutro: $a \cdot 1 = a$. Es decir, ¿$(A, \cdot)$ ha de ser también un grupo o cumplir sólo esas dos propiedades?

Sí, lo recuerdo, era éste: http://forum.lawebdefisica.com/threa...%ADa-de-Grupos

Pequeños venazos frikis que me daban en Biología

[Alriga]

Re: Números naturales

Tengo una duda. He releído las propiedades de los grupos y de los abelianos. Así, para ser un anillo, $(A,+)$ debe ser un abeliano y $(A, \cdot)$ ser asociativo y distribuivo con respecto a la suma, pero en mis apuntes, además, incluye el elemento neutro: $a \cdot 1 = a$. Es decir, ¿$(A, \cdot)$ ha de ser también un grupo o cumplir sólo esas dos propiedades?

No, $(A, \cdot)$ no ha de ser Grupo para ser Anillo. Si con la segunda operación (A*, ·) fuese también Grupo**, entonces a la estructura $(A, \ +, \ \cdot)$ ya no se le llama anillo, sino CUERPO. Ejemplo de Cuerpo es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

(A, +) Grupo conmutativo
Si le añadimos otra operación (A, +, ·) que tiene elemento neutro "1" tal que $x \cdot 1 =1 \cdot x=x$ y es distributiva = Anillo
Si le añadimos a la segunda operación elemento inverso " $\dfrac 1 x$ " tal que $\dfrac 1 x \cdot x=x \cdot \dfrac 1 x=1$ = Cuerpo

Las definiciones formales de Grupo, Anillo y Cuerpo las puedes encontrar por ejemplo aqui: Grupos, anillos y cuerpos

Saludos.

** En realidad con la segunda operación (A, ·) no es totalmente Grupo, pues hay un elemento (el neutro de la primera operación +) que no tiene elemento inverso con la segunda operación · Se expresa poniendo que (A*, ·) es Grupo, en donde el asterisco significa que al conjunto A le hemos quitado el elemento neutro de la primera operación.
(Para que me entiendas, el elemento neutro de la suma, que es Cero no tiene elemento inverso por la multiplicación, es decir no existe $\dfrac 1 0$ )
La no existencia del elemento inverso según la segunda operación del elemento neutro de la primera operación, sucede en todos los cuerpos, sea cual sea el conjunto y sean cuales sean las 2 operaciones internas definidas sobre él)

[Weip]

Re: Números naturales

Hola, vengo a comentar detallitos.

Así, para ser un anillo, $(A,+)$ debe ser un abeliano y $(A, \cdot)$ ser asociativo y distribuivo con respecto a la suma, pero en mis apuntes, además, incluye el elemento neutro: $a \cdot 1 = a$.

El producto tiene que ser interno y el elemento neutro en realidad podrías quitarlo de la definición. Si existiera elemento neutro entonces se hablaría de anillo unitario pero en algunos textos (creo que en tus apuntes es el caso) si solo tratan con anillos unitarios entonces no se distingue entre anillo y anillo unitario.

Para ampliar lo que te ha contado Alriga decir que la notación $A^*$ se usa también para indicar el conjunto de elementos invertibles de $A$ respecto el producto. Como caso concreto tienes que el elemento neutro de la suma no pertenece a $A^*$ pero también se puede dar el caso que otros elementos distintos del neutro no tuvieran inverso y entonces tampoco pertenecerían a $A^*$. Un ejemplo lo puedes encontrar en los polinomios de grado $n$ con el producto habitual. Si le quitas solo el cero el conjunto resultante sigue sin ser grupo con el producto.

Y bueno solo eran estos dos comentarios para que veas un poco las variantes que puedes encontrar en los libros acerca del tema.