Calculo de la divergencia en un tensor métrico

[inakigarber]

Buenas noches;

Repasando cuestiones relacionadas con la relatividad General, me he encontrado en este enlace, así como en este otro, con la siguiente expresión que no se muy bien como utilizar;
$div V=\dfrac{1}{\sqrt{|g|}}\dfrac{\partial}{\partial x^k}\left(\sqrt{|g|} V^k \right)$.

Bien, si no estoy equivocado el valor debe devolverme un escalar, es decir un número.

Ahora bien, aquí es donde me salen las dudas sobre como usar la fórmula.

Parto de un caso sencillo como este;
$\left(\begin{matrix}1 & 0 \\0 & r^2\end{matrix}\right)$
El determinante me sale; $g=r^2$
Por otra parte, $x^1=r$ y $x^2=\theta$
Entiendo que al aplicar la fórmula el superíndice k solo puede tener dos valores k=1 y k=2.
Como el tensor tiene dos únicos valores no nulos 1 y $r^2$ el desarrollo que yo hago es el siguiente, pero no estoy muy seguro.
$div V=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial (\sqrt {r} 1)}{\partial r}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial (\sqrt {r} r^2)}{\partial \theta}$, donde 1 y $r^2$ son los respectivos valores no nulos del tensor del que hemos partido. En este caso el segundo sumando se anula y el resultado que me da es $\dfrac{1}{r}$, pero no estoy muy seguro de haberlo hecho bien. Por otra parte, en caso de haberlo hecho bien, no entiendo el significado de este valor. ¿Cómo podría aclararlo?

Saludos.

[Richard R Richard]

$div V=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial (\sqrt {r^2} 1)}{\partial r}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial (\sqrt {r^2} r^2)}{\partial \theta}$

Ojo revisa creo que es como te lo he puesto, se anula el segundo termino .