1r ciclo Demostracion del Producto Punto entre dos Vectores

[FernandoBonilla]

Hola Muy Buenos Días, Pues miren tengo un pequeño dilema, Tengo que demostrar para mi clase de Física la siguiente Ecuación sobre el producto punto

A.B=AxBx + AyBy + AzBz
A.B=lAl.lBl <strong>\cos\theta

Y no se como hacerlo , por favor me podrían ayudar con esta demostración, de antemano estoy muy agradecido con ustedes

Saludos

[alexpglez]

Re: Demostracion del Producto Punto entre dos Vectores

Perdona, ¿de qué definición partes? ¿qué has intentado previamente?

[pod]

Re: Demostracion del Producto Punto entre dos Vectores

Si lo que tienes que hacer es demostrar que la suma del producto de componentes es igual a el producto de módulos por el coseno, la mejor forma de hacerlo es lo siguiente:

Los dos vectores $\vec a$ y $\vec b$ y haz un cambio de coordenadas de forma que, en las nuevas coordenadas, los vectores sean lo más sencillos posible. Por ejemplo, podemos rotar el sistema de coordenadas de forma que el eje OX sea paralelo al vector $\vec a$. Eso nos permite escribir $\vec a = (a,\ 0,\ 0)$.

Esto nos fija la dirección del eje OX, pero podemos rotar los ejes OY y OZ a su alrededor. Lo podemos hacer, por ejemplo, de forma que el eje OZ sea perpendicular al vector $\vec b$, con lo cual podemos escribir $\vec b = (b_1,\ b_2,\ 0)$.

Es decir, de las seis coordenadas en los dos vectores, nos hemos cargado (puesto a cero) tres de ellas. No podemos forzar a que más coordenadas sean cero porque no podemos hacer más rotaciones de los ejes de coordenadas. En todo esto, tenemos que hacer uso de que el producto escalar es invariante ante rotaciones de los ejes, por lo que el producto escalar de estas coordenadas será igual al original.

En estas coordenadas, el producto escalar es muy fácil: $\vec a \cdot \vec b = a b_1$. Te queda demostrar que $b_1 = b \cos\theta$. Se puede hacer mediante trigonometría (recordando el significado del coseno). Inténtalo. Vuelve si no lo consigues.

[FernandoBonilla]

Re: Demostracion del Producto Punto entre dos Vectores

Alexpglez Tengo que demostrar que A.B = AxBx +AyBy + AzBz es igual a A.B=lAl.lBlCosO (O es teta)

Gracias por tu ayuda compañero

- - - Actualizado - - -

Si lo que tienes que hacer es demostrar que la suma del producto de componentes es igual a el producto de módulos por el coseno, la mejor forma de hacerlo es lo siguiente:

Los dos vectores $\vec a$ y $\vec b$ y haz un cambio de coordenadas de forma que, en las nuevas coordenadas, los vectores sean lo más sencillos posible. Por ejemplo, podemos rotar el sistema de coordenadas de forma que el eje OX sea paralelo al vector $\vec a$. Eso nos permite escribir $\vec a = (a,\ 0,\ 0)$.

Esto nos fija la dirección del eje OX, pero podemos rotar los ejes OY y OZ a su alrededor. Lo podemos hacer, por ejemplo, de forma que el eje OZ sea perpendicular al vector $\vec b$, con lo cual podemos escribir $\vec b = (b_1,\ b_2,\ 0)$.

Es decir, de las seis coordenadas en los dos vectores, nos hemos cargado (puesto a cero) tres de ellas. No podemos forzar a que más coordenadas sean cero porque no podemos hacer más rotaciones de los ejes de coordenadas. En todo esto, tenemos que hacer uso de que el producto escalar es invariante ante rotaciones de los ejes, por lo que el producto escalar de estas coordenadas será igual al original.

En estas coordenadas, el producto escalar es muy fácil: $\vec a \cdot \vec b = a b_1$. Te queda demostrar que $b_1 = b \cos\theta$. Se puede hacer mediante trigonometría (recordando el significado del coseno). Inténtalo. Vuelve si no lo consigues.

Muchas Gracias pod, trate de hacerlo pero no entendí la verdad, a que valores debería cambiar para hacer la demostración, y como la hago, Gracias por tu ayuda amigo

[pod]

Re: Demostracion del Producto Punto entre dos Vectores

Muchas Gracias pod, trate de hacerlo pero no entendí la verdad, a que valores debería cambiar para hacer la demostración, y como la hago, Gracias por tu ayuda amigo

La demostración es tal cual te he dicho. Sólo te falta un paso.

El quid de la cuestión es que siempre existe un sistema de coordenadas donde puedes escribir un vector concreto con una sola coordenada; porque puedes girar los ejes de coordenadas como quieras (basta con girarlo para que el eje que corresponde a las "x", por ejemplo, sea paralelo al vector). Por lo tanto, esa coordenada es igual al módulo del vector. De ahí, que pueda escribir $\vec a = (a,\ 0,\ 0)$.

Pero esto sólo lo puedo hacer con un vector, porque una vez orientado el eje OX no puedo cambiar su orientación. Sin embargo, si que puedo rotar los otros dos ejes alrededor del primero (OX). Por eso, en el caso del segundo vector no puedo anular dos de sus coordenadas. Sólo puedo anular una rotando los ejes de forma que el eje OZ sea perpendicular a $\vec b$. Con esto, nos queda un vector con sólo dos componentes, $\vec b = (b_1,\ b_2,\ 0)$.

Esto parece un truco. Pero no lo es, no pierdo generalidad. Yo puedo poner los ejes cartesianos como me de la gana.

Fíjate que una vez reescritos los vectores de esta forma más sencilla, pasan dos cosas:

1. El producto escalar es muy sencillo de hacer por componentes. El resultado ya te lo puse.

2. Ahora los dos vectores están contenidos en el plano OXY. Así que los puedes pintar en el plano y hacer trigonometría con ellos. Haz el dibujo, identifica lo que son $b_1$ y $b_2$; dibuja el vector y el ángulo $\theta$. Recuerda la definición de coseno para encontrar el valor de $b_1$ en función del módulo b y el coseno.

[FernandoBonilla]

Re: Demostracion del Producto Punto entre dos Vectores

La demostración es tal cual te he dicho. Sólo te falta un paso.

El quid de la cuestión es que siempre existe un sistema de coordenadas donde puedes escribir un vector concreto con una sola coordenada; porque puedes girar los ejes de coordenadas como quieras (basta con girarlo para que el eje que corresponde a las "x", por ejemplo, sea paralelo al vector). Por lo tanto, esa coordenada es igual al módulo del vector. De ahí, que pueda escribir $\vec a = (a,\ 0,\ 0)$.

Pero esto sólo lo puedo hacer con un vector, porque una vez orientado el eje OX no puedo cambiar su orientación. Sin embargo, si que puedo rotar los otros dos ejes alrededor del primero (OX). Por eso, en el caso del segundo vector no puedo anular dos de sus coordenadas. Sólo puedo anular una rotando los ejes de forma que el eje OZ sea perpendicular a $\vec b$. Con esto, nos queda un vector con sólo dos componentes, $\vec b = (b_1,\ b_2,\ 0)$.

Esto parece un truco. Pero no lo es, no pierdo generalidad. Yo puedo poner los ejes cartesianos como me de la gana.

Fíjate que una vez reescritos los vectores de esta forma más sencilla, pasan dos cosas:

1. El producto escalar es muy sencillo de hacer por componentes. El resultado ya te lo puse.

2. Ahora los dos vectores están contenidos en el plano OXY. Así que los puedes pintar en el plano y hacer trigonometría con ellos. Haz el dibujo, identifica lo que son $b_1$ y $b_2$; dibuja el vector y el ángulo $\theta$. Recuerda la definición de coseno para encontrar el valor de $b_1$ en función del módulo b y el coseno.

Te lo agradezco mucho pod, ya logre entenderlo, y me sirvio mucho
Saludos y hasta una proxima amigo