1r ciclo Duda demostración matemática

[CARLIN]

Hola, tengo el siguiente ejercicio de álgebra:
Demuestra por inducción las siguientes igualdades:

$\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$

Probamos para n=1

$\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$

(2k-1) + [2.(n+1)-1] = (n+1)^2 (2k-1) + [2.(n+1)-1] = n^2+1+2n

Desarrollé (n+1)^2 pero no sé, no se cumple la igualdad


Con este otro he tenido problemas:

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n.(n+1).(2n+1)}{ 6}$

Bueno, se prueba para n=1

para n=m+1

k^2= (m+1).((m+1)+1).(2.(m+1)+1)/6

A partir de ahí desarrollé, pero lo tengo mal. Agradecería que me explicasen cómo se resuelven paso a paso, ya he intentado hacer unos cuantos y a la mínima me pierdo.

Gracias




[FONT=CMEX10][FONT=CMMI7][FONT=CMR7]

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[Weip]

Re: Duda demostración matemática

Hola, te ayudo con la segunda demostración.

Con este otro he tenido problemas:

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n.(n+1).(2n+1)}{ 6}$

Bueno, se prueba para n=1

para n=m+1

k^2= (m+1).((m+1)+1).(2.(m+1)+1)/6

A partir de ahí desarrollé, pero lo tengo mal. Agradecería que me explicasen cómo se resuelven paso a paso, ya he intentado hacer unos cuantos y a la mínima me pierdo.

Gracias[FONT=CMEX10][FONT=CMMI7][FONT=CMR7]
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Fíjate que en el caso $n+1$ tienes:

$\dst\sum_{k=1}^{n+1} k^2=(n+1)^2 +\dst\sum_{k=1}^{n} k^2=(n+1)^2+\dst\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=$ $\dst\frac{(n+1)((n+1)+1)((2n+1)+1)}{6}$

En la segunda igualdad he aplicado la hipótesis de inducción. Con esto acaba la demostración. Teniendo este ejemplo resuelto, vuelve a intentar la primera demostración a ver si lo ves más claro ahora.

Edito: Ahora que me fijo en mi desarrollo, para seguir tu notación, donde pone $n$ pon $m$. Aún así es cuestión de notación.

[Alriga]

Re: Duda demostración matemática

El primero:

Ya lo has probado para n=1, ahora se supone cierto para n y se calcula para n+1

$\dst\sum_{k=1}^{n+1} 2k-1=\left (\dst\sum_{k=1}^{n} 2k-1 \right ) +[2(n+1)-1]=(n^2)+[2(n+1)-1]=$

$=n^2+2n+2-1=n^2+2n+1=(n+1)^2$ c.q.d.

Saludos.

[Weip]

Re: Duda demostración matemática

Buenas. Iba a editar mi anterior mensaje para decir esto pero el mensaje de Alriga me viene de perlas para reforzar lo que te quiero decir. Fíjate que en ambas demostraciones lo que hemos hecho ha sido extraer el último término de la suma y aplicar la hipótesis de inducción en la suma que queda. Es un truquillo que para hacer estas demostraciones por inducción con sumatorios de por medio va bien. Tenlo presente porque en tu hoja de ejercicios seguro que hay más de estos.

[CARLIN]

Re: Duda demostración matemática

Hola Alriga, en la primera, ¿por qué (n^2)+[2(n+1)-1] en lugar de (n+1)^2? Gracias

[Alriga]

Re: Duda demostración matemática

Hola Alriga, en la primera, ¿por qué (n^2)+[2(n+1)-1] en lugar de (n+1)^2? Gracias

Es que $\dst \left (\dst\sum_{k=1}^{n} 2k-1 \right )=(n^2)$ porque en el sumatorio aquí está n, no n+1. Para n+1 debes demostrarlo.

Y después en 2k+1 hay que sustituir la k por (n+1) por eso 2(n+1)-1

El resto es simplemente operar. Voy a hacerlo al revés a ver si lo ves mejor, pero es muy sencillo

$(n+1)^2=(n+1)(n+1)=n^2+n+n+1=n^2+2n+1= n^2+2n+2-1=$

$=(n^2)+2(n+1)-1$

Saludos.