1r ciclo Espacios vectoriales

[The Higgs Particle]

1. Di si este conjunto es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^4$: $A =$ {${(x_1,x_2,x_3,x_4)}$ | $x_1 \cdot x_2 = 0$}

Creo que no lo es porque si tenemos $v=(x_1,x_2,x_3,x_4); w = (x_1',x_2',x_3',x_4') \to v + w = (x_1+x_1',x_2+x_2',x_3+x_3',x_4+x_4')$

Pero $(x_1+x_1') \cdot (x_2+x_2')=x_1x_2+x_1x_2'+x_1'x_2+x_1'x_2' = 0 +x_1x_2'+z_1'x_2 + 0$, y esos productos intermedios no tienen por qué ser cero.

Es decir, no es un subespacio porque $A \times A \cancel{\xrightarrow{+}} A$



2. ¿Es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ este conjunto con las operaciones indicadas?

$V=$ {[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] }, $(x_1,x_2) + (y_1,y_2) = (x_1+y_1,0)$; $\lambda (x_1,x_2)=(\lambda x_1, 0)$

No tengo muy claro qué hacer con esto. Veo que $V \times V \xrightarrow{+} V$, $V \times V \xrightarrow{\cdot } V$ y que cumplen algunas propiedades (suma: conmutativa, existencia de elemento neutro, elemento inverso).



3. Se considera el espacio vectorial real $P_2^{\mathbb{R}}$. ¿Es $W_1 =$ {$p(x) \in P_3^{\mathbb{R}} : (x-1)$ divide a $p(x)$} un subespacio de $P_3^{\mathbb{R}}$?

Entonces, $p(x)$ puede expresarse como: $p(x) = h(x)(x-1)$

3.1) $p(x)=h(x)(x-1); q(x)=h'(x)(x-1) \to p(x)+q(x)= (x-1)\left[ h(x)+h'(x)\right]$. Es decir, $W_1 \times W_1 \xrightarrow{+} W_1$

3.2) $p(x) = h(x)(x-1); \lambda \in \mathbb{R} \to \lambda p(x) = \lambda h(x)(x-1)$. Es decir, $W_1 \times W_1 \xrightarrow{\cdot} W_1$

3.3) Si $\lambda =0 \to \lambda p(x) = 0$. ¿Supone esto que $0 \in W_1$?

[pilimafiqui]

Re: Espacios vectoriales

El primero es un subespacio vectorial porque si X1 .X2 =0 tiene que ser X1 =0 o X2 =0
Si X1=0, X1'=0 y por lo tanto esos productos son también 0

[The Higgs Particle]

Re: Espacios vectoriales

El primero es un subespacio vectorial porque si X1 .X2 =0 tiene que ser X1 =0 o X2 =0
Si X1=0, X1'=0 y por lo tanto esos productos son también 0

Pero si suponemos:

$v=(x_1,x_2,x_3,x_4) : x_1=0$

$w=(x_1',x_2',x_3',x_4') : x_2'=0$

Se cumple que $x_1x_2=x_1'x_2'=0$, pero no que $(x_1+x_1') \cdot (x_2+x_2') = 0$

[pilimafiqui]

Re: Espacios vectoriales

Y porqué haces la división?

- - - Actualizado - - -

El segundo no es espacio vectorial porque no cumple la propiedad del elemento neutro o unidad respecto a la operacion externa : 1. u = u
Que en el ejercicio sería: 1. (X1,X2)= (X1, X2) .
Pero esto no se cumple ya que (1.X1, 1.X2) = (X1, 0) que es distinto de (X1, X2)

[angel relativamente]

Re: Espacios vectoriales

1-En efecto no es un espacio vectorial. El razonamiento que usas es correcto para intuirlo, pero lo que hay que hacer es dar un contraejemplo. Te doy uno sencillo: $(1,0,0,0)$ y $(0,1,0,0)$ pertenecen a $A$ y claramente su suma no. (Como pista, desconfía de todos los supuestos espacios vectoriales en los que aparecen variables cuadráticas, como es el producto de dos variables. Un espacio vectorial siempre puede darse mediante una ecuación lineal homogénea en sus componentes).

2- -Rectificado- Había dicho que sí muy rápido. En efecto es tal y como te indica pilimafiqui.

3- El razonamiento para el 3 es correcto. No obstante, lo de que $0\in W_1$ es algo que puedes comprobar si quieres (siempre el cero es un elemento de un EV) pero no es necesario si has probado que la suma y el producto es cerrado. En general, si $\lambda u \in W_1, \; \forall \lambda \in \mathbb{R}$ ya se entiende que en particular se verifica para $\lambda =0$, y no solo en el caso particular de este subespacio.

Saludos,

[Richard R Richard]

Re: Espacios vectoriales

Un '''espacio vectorial''' sobre un cuerpo (matemática)|cuerpo $K \;$ (como el cuerpo de los número real|números reales o los número complejo|números complejos) es un conjunto $V \;$ no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

$\begin{matrix}<br /> \mbox{Suma} & +& {V \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\<br /> & & {(\mathbf{u},\mathbf{v})} & \mapsto & {\mathbf{u}+\mathbf{v}}<br /> \end{matrix}<br />$

operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}, \qquad<br /> \forall \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

$\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}, \qquad \forall \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$

3) tenga elemento neutro $\mathbf{e}$, (ejemplo 0 en los reales) es decir
$<br /> \exists{}\mathbf{e} \in{} V$ $<br /> \mathbf{u} + \mathbf{e} = \mathbf{u} ,$ $<br /> \forall{} \mathbf{u} \in{} V<br />$

4) tenga elemento opuesto, es decir
$<br /> \forall{} \mathbf{u} \in{} V , \quad<br /> \exists{} \mathbf{-u} \in{} V$ $<br /> \mathbf{u} + (\mathbf{-u}) = \mathbf{e}<br />$

y la operación producto por un escalar:

$<br /> \begin{matrix}<br /> \mbox{Producto} & \cdot{}& {K \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\<br /> & & {(\mathit{a},\mathbf{u})} & \mapsto & {\mathit{a} \cdot \mathbf{u}}<br /> \end{matrix}<br />$

operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:
$<br /> \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})=(\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} ,$ $<br /> \forall{} \mathit{a} ,\mathit{b} \in{}K ,$ $<br /> \forall{} \mathbf{u} \in{} V<br />$

6)Cualquier vector u en V multiplicado por el neutro multiplicativo $\mathbf{e.}$ (ejemplo 1 en los reales) del cuerpo K, es si mismo.
$<br /> \exists{\mathbf{e}} \in{K}$ $<br /> \mathbf{e} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} ,$ $<br /> \forall{} \mathbf{u} \in{} V<br />$


7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
$<br /> \mathit{a} \cdot (\mathbf{u}+ \mathbf{v}) =<br /> \mathit{a} \cdot \mathbf{u}+ \mathit{a} \cdot \mathbf{v} ,$ $<br /> \forall{} \mathit{a}\in{}K ,$ $<br /> \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V<br />$

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
$<br /> (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} =<br /> \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u} ,$ $<br /> \forall{} \mathit{a}, \mathit{b} \in{} K ,$ $<br /> \forall{} \mathbf{u} \in{} V<br />$

Fuente wikipedia


En tu problema 1 No se cumple la condicion 1... mientras escribo veo que angel ya te ha dado un ejemplo que demuestra la no es un espacio vectorial.


en 2 si creo que son espacios vectoriales,
correcto pilimafiqui

y en 3 si aporto redunda.

[The Higgs Particle]

Re: Espacios vectoriales

Y porqué haces la división?

¿Qué división?

[Weip]

Re: Espacios vectoriales

Hola, solo vengo a comentar una cosilla. Cuando tengas que demostrar que un subconjunto $V$ de $\mathbb{R}^n$ es espacio vectorial suele ser más fácil demostrar que $V$ es subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$ y, como $\mathbb{R}^n$ es espacio vectorial, $V$ también lo es. Más que nada porque hay menos condiciones a probar. Esto también funciona en general para espacios vectoriales más abstractos.

Una pregunta, cuando escribes esto:

$V \times V \xrightarrow{+} V$

¿Te refieres a que la operación es interna? ¿La usáis en clase? Es que nunca había visto algo como $V \times V \xrightarrow{+} V$ así suelto, como símbolo sin explicación.

[The Higgs Particle]

Re: Espacios vectoriales

Hola, solo vengo a comentar una cosilla. Cuando tengas que demostrar que un subconjunto $V$ de $\mathbb{R}^n$ es espacio vectorial suele ser más fácil demostrar que $V$ es subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$ y, como $\mathbb{R}^n$ es espacio vectorial, $V$ también lo es. Más que nada porque hay menos condiciones a probar. Esto también funciona en general para espacios vectoriales más abstractos

Y puedo hacer esto sólo $V \in \mathbb{R}$?

Una pregunta, cuando escribes esto:

¿Te refieres a que la operación es interna? ¿La usáis en clase? Es que nunca había visto algo como $V \times V \xrightarrow{+} V$ así suelto, como símbolo sin explicación.[/QUOTE]
Sí, que es cerrado respecto a la suma o al producto. Cómo debería ponerlo entonces?

[Weip]

Re: Espacios vectoriales

Y puedo hacer esto sólo $V \in \mathbb{R}$?

Creo que quieres decir que si esto lo puedes hacer sólo si $V\subset \mathbb{R}$. Si pones $V \in \mathbb{R}$ estás diciendo que $V$ es un número real ($-1$ ,$1/2$, $\pi$...). Bueno, contestando a la pregunta, no, lo puedes hacer con total generalidad: si $E$ es un espacio vectorial y $F \subset E$ un subespacio vectorial con las operaciones heredadas de $E$ entonces $F$ es un espacio vectorial.

Sí, que es cerrado respecto a la suma o al producto. Cómo debería ponerlo entonces?

Vale gracias. No digo que esté mal eh, que yo no lo haya visto nunca no quiere decir que no esté bien. Ya que preguntas pues yo siempre lo he visto escrito tal cual, "$V$ es una cerrado por +" o "la operación $V \times V \xrightarrow{+} V$ es interna".

[pilimafiqui]

Re: Espacios vectoriales

La división a la que me refería es esta: V=(X1,X2,X3,X4) : X1=0

[The Higgs Particle]

Re: Espacios vectoriales

Creo que quieres decir que si esto lo puedes hacer sólo si $V\subset \mathbb{R}$. Si pones $V \in \mathbb{R}$ estás diciendo que $V$ es un número real ($-1$ ,$1/2$, $\pi$...). Bueno, contestando a la pregunta, no, lo puedes hacer con total generalidad: si $E$ es un espacio vectorial y $F \subset E$ un subespacio vectorial con las operaciones heredadas de $E$ entonces $F$ es un espacio vectorial

Entonces, si me dicen que compruebe si un conjunto $V \in \mathbb{K}^n$, ¿puedo tomarlo como subespacio vectorial (ya que $\mathbb{K}$ es un cuerpo y, por lo tanto, cumple todas las propiedades de espacio vectorial)?

La división a la que me refería es esta: V=(X1,X2,X3,X4) : X1=0

No es una división. Mis profesores usan indistintamente "|" y ":" para decir "tal que". Lo siento, no sabía que ":" era tan poco normal

[Weip]

Re: Espacios vectoriales

Entonces, si me dicen que compruebe si un conjunto $V \in \mathbb{K}^n$, ¿puedo tomarlo como subespacio vectorial (ya que $\mathbb{K}$ es un cuerpo y, por lo tanto, cumple todas las propiedades de espacio vectorial)?

Antes de contestarte, un comentario. Aviso que será lioso, pero esto lo tienes que pensar. Si me perdonas la insistencia, lo que quieres escribir es $V \subset \mathbb{K}^n$. No es lo mismo pertenecer a un conjunto ($\in$) que estar contenido en un conjunto ($\subset$). Un ejemplo. $1\in \mathbb{R}$ pero $1 \not\subset \mathbb{R}$. En cambio es cierto que $\left\{ 1\right\}\subset\mathbb{R}$. Otro ejemplo. La recta $x=2$ no pertenece a $\mathbb{R}^2$, pero sí está contenida en $\mathbb{R}^2$. Ahora sí, contestando a tu pregunta, no, lo correcto es que si tienes $V \subset \mathbb{K}^n$ subespacio vectorial y $\mathbb{K}^n$ cuerpo entonces $V$ es espacio vectorial con las operaciones heredadas de $\mathbb{K}^n$ porque todo cuerpo es espacio vectorial. Fíjate que esto es diferente a lo que tu has dicho. Dejando de lado lo que te he dicho del pertenecer y estar contenido, nadie te va a pedir que compruebes que $V \subset \mathbb{K}^n$, si no que te pedirán que demuestres que $V \subset \mathbb{K}^n$ es espacio vectorial. No trato de decir que todo subconjunto de un espacio vectorial es subespacio vectorial (que es lo que me preguntas), no. Lo que digo es que todo subespacio vectorial contenido en un espacio vectorial es espacio vectorial con las operaciones heredadas del espacio ambiente. Finalmente comentar una cosa que no tienes que saberla ni te la van a pedir, pero quiero al menos comentarlo. Cuando tienes dos estructuras algebraicas y haces el producto, no siempre podrás definir la misma estructura "de forma natural" en ese producto. Por ejemplo, si $\mathbb{R}$ cuerpo entonces $\mathbb{R}^2=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ no existe como cuerpo si intentas definirlo de forma natural. En cambio $\mathbb{R}^2$ como conjunto admite estructura de cuerpo con la suma y el producto de complejos (y entonces lo llamamos $\mathbb{C}$). Es decir, afirmaciones como si $K$ cuerpo entonces $K^n$ es cuerpo son peligrosas. En fin, si quieres esto último olvídalo, es otro tema y no te quiero liar.

Resumen: Si $E$ es un espacio vectorial y $F \subset E$ un subespacio vectorial con las operaciones heredadas de $E$ entonces $F$ es un espacio vectorial.

Esto sirve cuando te digan que demuestres que $F \subset E$ es espacio vectorial. Es útil porque solo has de comprobar una o dos condiciones (depende como te hayan definido ser subespacio vectorial). En cambio comprobar que es espacio vectorial son bastantes más condiciones.