1r ciclo Base espacio vectorial

[The Higgs Particle]

Me piden ver si la familia {$(1,1+2i),(i,-2+i)$} es una base de $\mathbb{C}^2$

Creo que no porque, aunque son linealmente independientes, los números del espacio vectorial $\mathbb{C}$ son de la forma $(a,bi)$. Así, tendría que poder expresarse:

$(a,bi)=\lambda_1(1,1+2i) + \lambda_2(i,-2+i)$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


De (1), $\lambda_2 = 0$
De (2), $\lambda_2 = 0$

Es decir, no son una base.

[Alriga]

Re: Base espacio vectorial

... los números del espacio vectorial $\mathbb{C}$ son de la forma $(a,bi)$ ...

Pero te preguntan si es base de $\mathbb{C}^2$ no de $\mathbb{C}$ , por lo tanto un elemento genérico de $\mathbb{C}^2$ es una pareja de complejos, y no solamente un complejo $(a,bi)$ :

$[(a_1+b_1 i),(a_2+b_2 i)] \in \mathbb{C}^2$

Entiendo que lo que habría que plantear sería:

$[(a_1+b_1 i),(a_2+b_2 i)]=\lambda_1[(1),(1+2i)]+\lambda_2 [(i),(-2+i)]$

O demostrar que la ecuación

$\lambda_1 [(1),(1+2i)]+\lambda_2 [(i),(-2+i)]=\vec 0=[(0+0i),(0+0i)]$

tiene como soluciones únicas $\lambda_1=0$ y $\lambda_2=0$ y por lo tanto esa pareja de complejos son base.

Pero repásalo todo bien, pues no es que yo tenga el tema muy fresco,...

NOTA: en el enunciado no dice cuál es el Cuerpo sobre el que debes considerar que $\mathbb{C}^2$ es Espacio Vectorial.

Lo digo porque si el cuerpo es $\mathbb{C}$ , claramente no son una base, ya que multiplicando el primer vector por "$i$" obtienes el segundo.

En cambio si el cuerpo es $\mathbb{R}$ , (como yo creo que era la intención del que puso el ejercicio), al hacer las operaciones debería salirte que sí que es base, (es decir $\lambda_1=0$ y $\lambda_2=0$ con $\lambda_1 \in \mathbb R$ $\lambda_2 \in \mathbb R$ )

Enseñanza: siempre que se habla de un espacio vectorial, hay que explicitar sobre qué cuerpo.

Saludos.

[Weip]

Re: Base espacio vectorial

¡Hola!

Enseñanza: siempre que se habla de un espacio vectorial, hay que explicitar sobre qué cuerpo.

Esto que ha dicho Alriga es importante y conviene que siempre lo tengas en mente. Te pongo un ejemplo. Si consideras $\mathbb{R}$ como $\mathbb{R}$-espacio vectorial entonces tiene dimensión uno, pero si consideras $\mathbb{R}$ como $\mathbb{Q}$-espacio vectorial entonces ¡tiene dimensión infinita! Otro ejemplo que también me gusta poner es el de $\mathbb{C}$, que dependiendo de si es $\mathbb{R}$-espacio vectorial o $\mathbb{C}$-espacio vectorial tiene una dimensión u otra. Como ves, sustituyendo el cuerpo por otro hay propiedades algebraicas como la dimensión que cambian y se obtienen espacios vectoriales totalmente diferentes.