1r ciclo Demostrar si es Espacio Vectorial

[Forseti]

En el ejercicio me preguntan si sería espacio vectorial el siguiente conjunto con estas operaciones:

$V=$ {[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] }, $(x_1,x_2,0) + (y_1,y_2,0) = (x_1+y_1,x_2+y_2,0)$; $\lambda (x_1,x_2,0)=(\lambda x_1, x_2,0)$

Además, debo indicar si es subespacio de $\mathbb{R}^3$

Si $\lambda = 0$ , entonces $\lambda (x_1,x_2,0) = (0,x_2,0)$

Se debería verificar que $\lambda (x_1,x_2,0) = (0,0,0)$ ?

[pod]

Re: Demostrar si es Espacio Vectorial

En el ejercicio me preguntan si sería espacio vectorial el siguiente conjunto con estas operaciones:

$V=$ {[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] }, $(x_1,x_2,0) + (y_1,y_2,0) = (x_1+y_1,x_2+y_2,0)$; $\lambda (x_1,x_2,0)=(\lambda x_1, x_2,0)$

Además, debo indicar si es subespacio de $\mathbb{R}^3$

Si $\lambda = 0$ , entonces $\lambda (x_1,x_2,0) = (0,x_2,0)$

Se debería verificar que $\lambda (x_1,x_2,0) = (0,0,0)$ ?

Si no recuerdo mal, las condiciones que deben cumplir las operaciones de un espacio vectorial conjuntamente son:

$$\begin{aligned}<br /> a \vec v + a \vec u & = a (\vec v + \vec u) \ , \\<br /> a \vec v + b \vec v & = (a+b) \vec v.<br /> \end{aligned}<br />$$

¿Las operaciones que tienes definida lo cumplen?

[Forseti]

Re: Demostrar si es Espacio Vectorial

Si no recuerdo mal, las condiciones que deben cumplir las operaciones de un espacio vectorial conjuntamente son:

$$\begin{aligned}<br /> a \vec v + a \vec u & = a (\vec v + \vec u) \ , \\<br /> a \vec v + b \vec v & = (a+b) \vec v.<br /> \end{aligned}<br />$$

¿Las operaciones que tienes definida lo cumplen?

Muchas gracias por tu respuesta. Si lo he entendido bien:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\lambda (x_1,x_2,0) + \alpha(x_1,x_2,0) = (\lambda x_1 + \alpha x_1, 2x_2, 0) \not = (\lambda + \alpha)(x_1,x_2,0)$$=((\lambda + \alpha)x_1,x_2,0)$

Por incumplir esta propiedad no sería espacio vectorial.

Mi duda ahora es que si dada una operación externa, el neutro del cuerpo debe operado con un vector debe llevar siempre en el (0,0,0) para que sea espacio vectorial.

[ChristianCab]

Re: Demostrar si es Espacio Vectorial

Recordemos las condiciones que debe cumplir un subespacio vectorial: Sea $H$ un subespacio vectorial de $R$ⁿ
(1) Todo espacio vectorial debe contener al vector nulo (vector cero)
(2) Si $\vec{u}$ y $\vec{v} \in H$ $\Rightarrow (\vec{u} + \vec{v}) \in H$
(3)$\forall \vec{u} \in H$, $\forall r \in R \Rightarrow r.\vec{u} \in H$

Luego de analizar esas tres condiciones, se sabe que es un subespacio de $R$³ contando el número de elementos del vector.
Espero haberte ayudado, saludos.