Divulgación Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

[inakigarber]

Buenas noches. Planteo este problema que me tiene un tanto perplejo.
Use el calculo con determinantes para demostrar que si;
$A=a_xi+a_yj+a_zk$
$B=b_xi+b_yj+b_zk$
$C=c_xi+c_yj+c_zk$
Entonces;
$A\cdot(B\times C)=\begin{pmatrix}a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z \end{pmatrix}=B\cdot(A\times C)=C\cdot(A\times B)=$
No entiendo bien el enunciado de este problema, y el solucionario no me aclara gran cosa. Bien, siguiendo el procedimiento me sale la solución, pero no entiendo bien ni el resultado ni lo que se pretende demostrar. ¿Hay algún ejemplo físico que me permitiera entender el problema?
Saludos y gracias.

[Penrose]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

Por lo poco que conozco de producto vectorial este año (ya que en Matemáticas todavía no lo hemos dado y en Física lo hemos arañado un poquito) entiendo que lo que se pretende demostrar es que el producto vectorial tiene propiedad distributiva.

De momento es lo poco que te puedo explicar, espero que te sirva de algo.

Saludos

PD: El ejemplo físico que me viene así a bote pronto es el momento angular, en el que se observa bien por qué el producto vectorial no es conmutativo pero sí distributivo.

[Mossy]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

Hola,

No es nada más ni nada menos que una propiedad del producto mixto de vectores. Es importante saberse las propiedades de las operaciones con vectores.

Respecto a lo de la propiedad distributiva, la propiedad distributiva es $a*(b+c)=a*b+a*c$ que cumplen algunas estructuras algebraicas cuando se definen ciertas operaciones * y + (por ejemplo, producto y suma corriente de números reales).

Como ejemplo de aplicación: imagínate que quieres calcular la componente z del momento angular; esto lo harías proyectando en dirección z tal que así $\hat{z} \cdot \vec{L} = \hat{z} \cdot \vec{r} \times \vec{p}$ pero, usando la propiedad, podrías usar $\vec{r} \cdot (\hat{z} \times \vec{p})$ o también $\vec{p} \cdot (\hat{z} \times \vec{r})$. Quizás en algún problema concreto te resulte útil alguna de estas dos expresiones en vez de la primera.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

Desarrollando el primer termino queda

$A\cdot(B\times C)=(a_xi+a_yj+a_zk)\cdot\left [(b_yc_z-b_zc_y)i+(b_zc_x-b_xc_z)j+(b_xc_y-b_yc_x)k \right ]=$$a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x-a_yb_xc_z+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x$

desarrollando el segundo

$\det M=\begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}=a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x-a_yb_xc_z+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x$

pero haciendo el tercero da

$B\cdot(A\times C)=(b_xi+b_yj+b_zk)\cdot\left [(a_yc_z-a_zc_y)i+(a_zc_x-a_xc_z)j+(a_xc_y-a_yc_x)k \right ]=$$b_xa_yc_z-b_xa_zc_y+b_ya_zc_x-b_ya_xc_z+b_za_xc_y-b_za_yc_x=$$-[A\cdot(B\times C)]$

que no es lo que pide el enunciado


y por ultimo

$C\cdot(A\times B)=a_xb_yc_z-a_xb_zc_y+a_yb_zc_x-a_yb_xc_z+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x$


que si es correcto




El error en la tercera surge pues

$\begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}b_x & b_y & b_z\\a_x & a_y & a_z \\c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

o te has olvidado de postear un signo menos en la tercer expresión

[inakigarber]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

Aun sigo sin poder entenderlo. Seguiré estudiando.

[Richard R Richard]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

Aun sigo sin poder entenderlo. Seguiré estudiando.

Que es lo que no puedes entender , que hechamos una mano...

El enunciado era así o le faltaba el signo menos?

si

$\vec A=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k$
$\vec B=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k$
$\vec C=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k$

La definición de producto escalar de dos vectores A y B

$\vec A\cdot \vec B=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

La definición de producto vectorial de dos vectores A y B

$\vec A\times \vec B=(a_yb_z-a_zb_y) \vec i+(a_zb_x-a_xb_z) \vec j+(a_xb_y-a_yb_x) \vec k$

que es lo mismo que resolver el determinante de

$\begin{vmatrix}\vec i &\vec j &\vec k\\a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}=(a_yb_z-a_zb_y) \vec i+(a_zb_x-a_xb_z) \vec j+(a_xb_y-a_yb_x) \vec k$

y una propiedad de los determinantes es que una inversión de filas o columnas devuelve el mismo resultado pero cambiado de signo.

$\begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}b_x & b_y & b_z\\a_x & a_y & a_z \\c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a_y & a_x & a_z \\b_y & b_x & b_z\\c_y & c_x & c_z \end{vmatrix}$


Solo esas propiedades usé para desarrollar cada expresión y compararlas entre si.

[inakigarber]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

Buenas noches.
Tras unos días alejado de este problema por otras circunstancias, vuelvo a retomarlo, pero creo que sigo equivocándome en algo. Veamos; tengo los siguientes vectores;
$A=a_xi+a_yj+a_zk$
$B=b_xi+b_yj+b_zk$
$C=c_xi+c_yj+c_zk$
y pretendo llegar a esta proposición;
$A\cdot(B\times C)=\begin{pmatrix}a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z \end{pmatrix}=B\cdot(A\times C)=C\cdot(A\times B)$
Bien, hago primero el producto $(B \times C)$
$(B \times C)=\begin{pmatrix}i & j & k\\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{pmatrix}=i(b_y c_z-b_z c_y)-j(b_x c_z-b_z c_x)+k(b_x c_y-c_x b_y)$
Cuando hago el producto punto. Considerando que en este producto los vectores perpendiculares dan cero ($ij=ik=jk=ji=ki=kj=0$) $A \cdot(B \times C)$, me sale.
$A \cdot(B \times C)=i(a_x b_y c_z-a_x b_z c y)-j(a_y b_x c_y-a_y b_z c_x)+k(a_z b_x c_y-a_z b_y c_x)$
Sin embargo cuando hago, por ejemplo, el producto $B \cdot(A \times C)$
el resultado final que me sale es;
$B \cdot(A \times C)=i(a_y b_x c_z- a_z b_x c_y)-j(a_x b_y c_z-a_z b_y c_x)+k(a_x b_z c_y-a_y b_z c_x)$
Con lo que los subíndices no me coinciden, por lo que algo debo estar haciéndolo mal. Me gustaría saber el que.

- - - Actualizado - - -

Que es lo que no puedes entender , que hechamos una mano...El enunciado era así o le faltaba el signo menos?

El enunciado es así. No falta ningún signo menos.
¿Podría ser un error del enunciado?
Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

]
Cuando hago el producto punto. Considerando que en este producto los vectores perpendiculares dan cero ($ij=ik=jk=ji=ki=kj=0$)

$ii=jj=kk=1$

El producto punto da por resultado un escalar no un vector

[Penrose]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

Creo que él se refería al producto vectorial porque si no el ejercicio no estaría bien resuelto.

Para marcar el producto escalar se utiliza por convenio un punto (.) entre los dos (o más) vectores. Para el producto vectorial se utiliza por convenio un aspa (x).
Para entender el ejercicio que has realizado bien pero que no entiendes te paso este link https://www.biol.unlp.edu.ar/aliment...-vectores2.pdf en el que creo que viene explicado con dibujitos (que aveces parecen una tontería pero para entender ciertas cosas vienen de cine)
Saludos

$ii=jj=kk=1$

El producto punto da por resultado un escalar no un vector

[Richard R Richard]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

$i=\vec i=(1,0,0)$
$j=\vec j=(0,1,0)$
$k=\vec k=(0,0,1)$
Son los tres vectores linealmente indepedientes ortonormales que forman una base del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ esta definición implica que
$i\perp j\perp k\perp i$
$i\cdot j=j\cdot i=i\cdot k=k\cdot i=k\cdot j=j\cdot k=0$
Y que
$i\times j=k$
$j\times i=-k$
$j\times k=i$
$k\times j=-i$
$k\times i=j$
$i\times k=-j$

Además
$i\times i=\vec 0=(0,0,0)$
$j\times j=\vec 0=(0,0,0)$
$k\times k=\vec 0=(0,0,0)$

También
$|i|=|j|=|k|=1$

El determinante de una matriz es un escalar.

Todos los resultados de los 4 términos de la igualdad son escalares.

Pero el tercer termino debe ir cambiado de signo.

$B \cdot(A \times C)=i(a_y b_x c_z- a_z b_x c_y)-j(a_x b_y c_z-a_z b_y c_x)+k(a_x b_z c_y-a_y b_z c_x)$

Esta formula esta equivocada.


Saludos

[inakigarber]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

$ii=jj=kk=1$

El producto punto da por resultado un escalar no un vector

Ese ha sido mi gran problema, ya que en mi ignorancia consideraba que que producto punto daba como resultado un vector. Solo puede dar como resultado un escalar.

- - - Actualizado - - -

.....El determinante de una matriz es un escalar.

Todos los resultados de los 4 términos de la igualdad son escalares....

Me equivoque ya que los había considerado como vectores.

[Penrose]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

No pasa nada hombre. A veces para abordar este tipo de problemas conviene repasar la parte matemática que lo explica (que puede ser un tostón por otro lado leer la demostración) pero con las ganas y el empeño que pones seguro que no te resulta un problema.
Saludos

Ese ha sido mi gran problema, ya que en mi ignorancia consideraba que que producto punto daba como resultado un vector. Solo puede dar como resultado un escalar
Me equivoque ya que los había considerado como vectores.

[inakigarber]

Re: Problema de determinantes aplicados al calculo vectorial

Gracias;
Dentro de dos años tendré otros temas distintos donde seguiré metiendo la pata y aprendiendo a partir de nuevos errores.
Saludos.