Divulgación Problema de producto vectorial que no entiendo

[inakigarber]

Buenas noches;
Planteo el siguiente problema que me tiene de cabeza;
Encontrar un vector que cumpla la siguiente condición;
Que tenga norma $\sqrt{2}$ y que sea perpendicular al vector $u=(\sqrt{2};\sqrt{2};0)$ y al vector $v=(\sqrt{3};0;\sqrt{3})$.
La solución que da es; $\frac{\sqrt{6}}{2}(i-j-k)$
Creo que no lo he entendido bien. A ver donde me equivoco. Yo actúo de la siguiente manera;
$\begin{pmatrix}i & j & k\\\sqrt{2} & \sqrt{2} &0\\\sqrt{3} & 0 &\sqrt{3}\end{pmatrix}=\sqrt{6}i+\sqrt{6}j+\sqrt{6}k$. De manera que me sale un vector cuya norma (o módulo) es; $m=\sqrt{3\cdot6}=\sqrt{18}$, pero a partir de aquí me atasco.
¿Como debo seguir?
Saludos y gracias.

[Al2000]

Re: Problema de producto vectorial que no entiendo

Tienes mal el signo de las componentes Y y Z en tu cálculo. Lo único que te falta hacer es multiplicar el vector obtenido por $\sqrt {2}/\sqrt {18}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[arivasm]

Re: Problema de producto vectorial que no entiendo

En primer lugar, estás haciendo mal el producto vectorial. El resultado no es el que pones, sino $\vec m=\sqrt{6}(\vec\imath-\vec\jmath-\vec k)$.

A partir de ahí sólo se trata de multiplicar ese vector por un número de manera que el resultado tenga la norma buscada. Si la solución es $\vec w=k\vec m$ entonces $w=|k|m$, es decir, $\sqrt{2}=|k|\sqrt{18}$. Por tanto $|k|=1/3$ y el vector buscado es simplemente $\pm\frac{\sqrt{6}}{3}(\vec\imath-\vec\jmath-\vec k)$

PD: Veo que Al, a quien saludo, y yo casi respondimos a la vez

[inakigarber]

Re: Problema de producto vectorial que no entiendo

Saludos y gracias a ambos;
Teneis razón; el resultado del producto $(u \times v)=\sqrt{6}(i-j-k)$
En este aspecto, me equivoque con los signos aritméticos.
El valor de $|k|$ tambien me sale 1/3. Pero sobre el siguiente resultado, aun tengo que darle más vueltas. Se me escapa.
P.D.
Si de lo que se trata es de hallar un vector cuya norma sea $\sqrt{2}$ y para el que la longitud de los lados sea igual, entonces tenemos;
$\sqrt{2}=\sqrt{a^2+a^2+a^2}$, entonces si me sale $a=\sqrt{\frac{2}{3}}$, cuyo resultado si coincide con el que facilitaba arisvam. Creo que el problema es que no he entendido bien el enunciado.

[Al2000]

Re: Problema de producto vectorial que no entiendo

Creo que no entiendo que es lo que no entiendes. El producto vectorial de los vectores $\vec u$ y $\vec v$ es un vector perpendicular a ambos y con una norma que dependerá de los valores específicos de los vectores. Si tu quieres un vector que sea perpendicular a $\vec u$ y $\vec v$ y que tenga una norma cualquiera, la operación que tienes que hacer es hallar el vector unitario en la dirección de $\vec u \times \vec v$ y multiplicarlo por la norma buscada.

Tu hiciste el producto de $\vec u$ por $\vec v$... ok, ya tienes garantizada la perpendicularidad. Ahora lo único que te resta por hacer es escalar el resultado para que tenga la norma que desees.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Debes releer lo que te respondió Antonio (¡Saludos Antonio!), allí está claro lo que tienes que hacer. De todas formas te añado, en sintonía con lo que escribí arriba, que el vector que buscas es $\dst \pm \sqrt 2 \,\frac {\vec u \times \vec v}{|\vec u \times \vec v|}$.

[inakigarber]

Re: Problema de producto vectorial que no entiendo

Creo que no entiendo que es lo que no entiendes....

Creo que lo he entendido al tratar de darle un sentido físico. El vector $\vec{u}$ podría representar, por ejemplo un campo eléctrico y el vector $\vec{v}$ el producto $q\vec{v}$ que sería el producto de un escalar (q) por un vectorial (v). $\vec{F}=\vec{B} \times (q\cdot\vec{v})$, que va a dar como resultado un vector $\vec{F}$ que será perpendicular tanto a $\vec{B}$ como a $(q\cdot\vec{v})$, salvo que el resultado sea 0.
Ahora de lo que se trata es de hallar un escalar tal que al multiplicar un vector unitario de como resultado el vector $\vec{F}$.
Saludos y gracias.