Otras carreras círculos formando triángulo equilátero

[Saul Ortega]

Hola.

Tengo círculos ordenados en filas de tal manera que forman un triángulo equilátero (como se ordenan las bolas de billar, por si quieren buscar en Google).

Entonces, en una fila, hay un único círculo, en dos filas hay tres círculos, en tres filas hay seis círculos, en 4 hay 10...

Cuál sería la fórmula que me permite hallar la cantidad de círculos a partir de la cantidad de filas?

[Alriga]

Re: círculos formando triángulo equilátero

Si n es el número de filas, la cantidad total de círculos S, es la suma de una sencilla progresión aritmética

$S=1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n \ (n+1)}{2} \,$

Por cierto, a estos números se les llama números triangulares

Saludos.

[Saul Ortega]

Re: círculos formando triángulo equilátero

Sí, la formulé con una función recursiva:

F(n)=F(n-1)+n. Siempre que n >= 1

Pero, habrá alguna manera de representarla de otra manera? Como con una integral definida entre 1 y n, pero no sé cómo plantear ahí lo de la recursividad.

Es que necesito que la segunda derivada de "F(n) * pi" me de "pi". Entonces creo que tengo que reescribir esa F(n) de otra manera tal que la segunda derivada de " algo * pi" me de "pi".

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También la puedo escribir como una simple sumatoria de i desde i=1 hasta n.

Pero igual, eso sería una constante, y no podría sacarle una segunda derivada a la expresión...

Joer, no sé si se pueda...

[Alriga]

Re: círculos formando triángulo equilátero

... Es que necesito que la segunda derivada de "F(n) * pi" me de "pi" ...

$F(x)=\dfrac{x^2+x}{2}$


$G(x)=\pi F(x)=\pi \cdot \dfrac{x^2+x}{2}$


$\dfrac{d^2G}{dx^2}=\pi$


Saludos.

[angel relativamente]

Re: círculos formando triángulo equilátero

Hay algo que no estoy entendiendo. El ejercicio te pide cuántos círculos tienes en la fila n-ésima, ¿no? Ya te lo ha dicho Alriga, en la fila n-ésima hay $\dfrac 12 n (n+1)$
Lo que no sé es para qué quieres lo de la derivada. En el paso que te hace Alriga en su segundo post hay algo peligroso, y es que la sucesión de círculos es discreta (y por tanto la función NO es continua), por lo que NO es derivable. Por eso Alriga se cuida de cambiar la $n$ por la $x$, atendiendo en que ahora la $x$ es una variable que toma valores en los reales y por tanto la función que define es continua (es un polinomio) y fácilmente derivable. Pero el paso de una sucesión al continuo se sale completamente de lo que te pedía el ejercicio, y esas funciones que derivas NO representan los círculos en un triángulo.

Saludos,

[Alriga]

Re: círculos formando triángulo equilátero

Hola Saul, por favor, lee Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

... en la fila n-ésima hay $\dfrac 12 n (n+1)$ ...

Aquí hay un pequeño error de despiste, se sobreentiende que lo que quiere decir Ángel es que esa es la expresión del total de círculos que hay en el triángulo de n filas.

... Hay algo que no estoy entendiendo ... Lo que no sé es para qué quieres lo de la derivada ...

Yo tampoco lo entiendo, me he limitado a buscar una expresión continua similar a la discreta, que cumpla

... Es que necesito que la segunda derivada de "F(n) * pi" me de "pi". Entonces creo que tengo que reescribir esa F(n) de otra manera tal que la segunda derivada de " algo * pi" me de "pi" ...

Pero sin entender para que la necesita.

... En el paso que te hace Alriga en su segundo post hay algo peligroso, y es que la sucesión de círculos es discreta (y por tanto la función NO es continua), por lo que NO es derivable. Por eso Alriga se cuida de cambiar la $n$ por la $x$, atendiendo en que ahora la $x$ es una variable que toma valores en los reales y por tanto la función que define es continua (es un polinomio) y fácilmente derivable. Pero el paso de una sucesión al continuo se sale completamente de lo que te pedía el ejercicio, y esas funciones que derivas NO representan los círculos en un triángulo ...

Completamente de acuerdo


Saludos.

[Al2000]

Re: círculos formando triángulo equilátero

¿Y haciendo el cálculo por diferencias?

$$\begin{matrix}<br /> \text {elem} & S & 1^a \text { dif} & 2^a \text { dif} \\ \\<br /> n-1 & \dfrac {(n-1) n} 2 \\<br /> & & n \\<br /> n & \dfrac {n (n+1)} 2 & & 1 \\<br /> & & n+1 \\<br /> n+1 & \dfrac {(n+1) (n+2)} 2 <br /> \end{matrix}$$

[Saul Ortega]

Re: círculos formando triángulo equilátero

Hola, gracias y perdón por contestar a estas alturas...

Efectivamente la expresión es la que ya han dicho Alriga y Angel (Gracias, todopoderosísimo Wolfram Alpha, no sabía que podías hacer eso, alabado seas ).

Pues ya que preguntan, intentaré contarles la historia:

Necesitaba demostrar que área_conjunta_circulos/área_triángulo = pi/no_recuerdo. Hallé primero la expresión del denominador, que era mucho más grande que la que me daban, y, tras verificar que estaba correcta, descubrí que su segunda derivada era la expresión que me daban; así que deduje que la expresión del numerador que multiplica a pi debería ser de tal forma que su segunda derivada (incluyendo a pi) fuera pi, para aplicar la regla de L'hopital.

Y efectivamente, así fue.

Edito, por si hay dudas: El pi del numerador es de pi*r^2*cantidad_circulos (el área de los círculos), que al simplificar con el denominador (área del triángulo) el r^2 se cancela (el área del triángulo está dada en función de los radios de los círculos).

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Edito: Me acabo de dar cuenta que Alriga ya me había dado la respuesta en su primer mensaje, antes de que yo respondiera, y yo matándome tratando de encontrarla... Es que esas imágenes de ecuaciones no se ven en mi celular...