1r ciclo Duda con aplicaciones lineales

[CARLIN]

Hola, tengo el siguiente ejercicio

7. Sea f :${R}_{3} [x]$ → ${R}^{3}$ la aplicación lineal que a un polinomio p(x) ∈ ${R}_{3}$[x] le hace corresponder

f (p(x)) = (p(0), p(1), p(0) + p(1))


(a) Calcular la matriz A asociada a f respecto de las bases B = {1 + x, 1 + x^2 , 1 + x^3 , x} y

B' = {(111), (101), (001)} en el conjunto de partida y de llegada respectivamente.


(b) Calcular una base del Kerf y de Imf . ¿Está el elemento ((1, 2, 2) en Imf ?. ¿Es f inyectiva?

¿Es f suprayectiva?
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Bien, este es un ejercicio resuelto, cuando intenté comprenderlo me surgió una duda: ¿Cómo el hallan el (2,-1,2)? o mejor dicho,¿qué vector es?

f(1+x) = (1,2,3) = $(\alpha ,\beta , \delta)$ B'=(2,-1,2)

f(1+x^2) = (1,2,3) = ${(2,-1,2)}_{B'}$

f(1+x^3) = (1,2,3) = ${(2,-1,2)}_{B'}$

f(x)= (0,1,1) $\epsilon R^3 \equiv {(1,-1,1)}_{B'}$

Gracias

[Richard R Richard]

Re: Duda con aplicaciones lineales

(2,-1,2) serian las coordenadas del vector 123 de la base canónica expresado en coordenadas de la base B'

la matriz es la que multiplicada por cualquier vector expresado en coordenadas de la base B transforma esos vectores en coordenadas de la base B'

$\begin{pmatrix}<br /> 0 & 0 & 1 & 1 \\<br /> 0 & 1 & 0 & 1 \\<br /> 1 & 0 & 0 & 1 \\<br /> 0 & 0 & 1 & 0 <br /> \end{pmatrix}\cdot$$\begin{pmatrix}<br /> 1 & -1 & 1 \\<br /> 1 & -1 & 1 \\<br /> 1 & -1 & 1 \\<br /> 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix}<br /> 2 & -1 &2 \\<br /> 2 & -1 &2 \\<br /> 2 & -1 & 2 \\<br /> 1 & -1& 1 <br /> \end{pmatrix}$




sobre inyectividad y sobreyectividad no lo tengo claro que contestar

ej las coordenadas de un vector (0,0,1,0) representan a un vector

$p(x)=1+x^3 \,\,(1,0,0,1)$

entonces cualquier polinomio expresado en la base B multiplicado por la matriz A da por resultado un vector expresado en la base B'

$A=\begin{pmatrix}<br /> 2 & -1 &2 \\<br /> 2 & -1 &2 \\<br /> 2 & -1 & 2 \\<br /> 1 & -1& 1 \end{pmatrix}$

para verlo (1,0,0,1) expresado en la base B es (0,0,1,0)

$(0,0,1,0)\cdot\begin{pmatrix}<br /> 2 & -1 &2 \\<br /> 2 & -1 &2 \\<br /> 2 & -1 & 2 \\<br /> 1 & -1& 1 \end{pmatrix}=(2,-1,2)$

$p(x)=x \,\,(0,0,1,0)$expresado en la base B es (0,0,0,1)


$(0,0,0,1)\cdot\begin{pmatrix}<br /> 2 & -1 &2 \\<br /> 2 & -1 &2 \\<br /> 2 & -1 & 2 \\<br /> 1 & -1& 1 \end{pmatrix}=(1,-1,1)$


otro ejemplo

$p(x)=x^3+x^2+1 \,\,(1,1,0,1)$ en la base canonica y expresado en la base B es (1,1,-1,1)


$(1,1,-1,1)\cdot\begin{pmatrix}<br /> 2 & -1 &2 \\<br /> 2 & -1 &2 \\<br /> 2 & -1 & 2 \\<br /> 1 & -1& 1 \end{pmatrix}=(3,-2,3)$

$f(p(x))=(1,3,4)$

y ese vector expresado en la base de B' es (3,-2,3)

[Weip]

Re: Duda con aplicaciones lineales

Hola, vengo a hablar del apartado (b) y de la inyectividad y la sobreyectividad. Cuando tenemos una aplicación lineal $f:U \to U'$ se cumple:

-$f$ es inyectiva si y solo si $\textrm{Ker}f=\left\{ 0\right\}$.
-$f$ es sobreyectiva si y solo si $\textrm{Im}f=U'$.

$U'$ en nuestro caso es $\mathbb{R}^3$. Por lo tanto una vez tienes una base de $\textrm{Ker}f$ y de $\textrm{Im}f$ solo queda aplicar los dos criterios que acabo de escribir. No sé si al leer la solución entendistes esta parte pero con esto y lo que ha dicho Richard ya tienes una explicación completa del ejercicio.