1r ciclo Aplicaciones lineales

[CARLIN]

Hola, tengo el siguiente ejercicio de aplicaciones lineales:

Sea f : ${M}_{2} (R) \mapsto {R}_{3}\left[ x \right]$ la aplicación lineal dada por f(A) = $\begin{pmatrix}<br /> 1 & x \\<br /> \end{pmatrix} A \begin{pmatrix}<br /> x \\<br /> {x}^{2} <br /> \end{pmatrix}$ para todo A $\epsilon {M}_{2}(R)$


a) Calcular la matriz asociada a f respecto de las bases B y B' = $\left\{ 1,x,{x}^{2},{x}^{3} \right\}$ , siendo B = $\left\{ \begin{pmatrix}<br /> 1 & 0 \\<br /> 0 & 0<br /> \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 \\<br /> 0 & 0<br /> \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 \\<br /> 1 & 0<br /> \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 \\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix}\right\}$

b) calcular una base del Kerf y de Imf. ¿Es f biyectiva?

c) Calcular una base B* de ${M}_{2} (R)$ tal que la matriz asociada a f respecto de B* y de B' sea: $\begin{pmatrix}<br /> 0 & 0 & 0 & 0 \\<br /> 1 & 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 1 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1 & 0<br /> \end{pmatrix}$
¿Qué relación matricial existe entre A y M?





Estoy practicando para el examen de álgebra que tengo en enero, cualquier consejo con estos ejercicios bienvenido sea. Estoy bloqueado en el primer apartado, lo intenté de varias maneras, busqué el apartado resuelto y pone esto:

$f\left( \begin{pmatrix}<br /> a & b \\<br /> c & d<br /> \end{pmatrix} \right)$ = $\begin{pmatrix}<br /> 1 & x \\<br /> \end{pmatrix}$ . $\begin{pmatrix}<br /> a & b \\<br /> c & d<br /> \end{pmatrix}$ . $\begin{pmatrix}<br /> x \\<br /> {x}^{2}<br /> \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}<br /> a & +cx & +b & +dx \\<br /> \end{pmatrix}$ . $\begin{pmatrix}<br /> x \\<br /> {x}^{2}<br /> \end{pmatrix}$ = $ax + {cx}^{2} + {bx}^{2} + {dx}^{3}$ = $ax +(c+b).{x}^{2} + {dx}^{3}$

y luego para calcular la matriz respecto de B y B', esto es en lo que tengo muchas dudas:

d$\begin{pmatrix}<br /> 1 & 0 \\<br /> 0 & 0<br /> \end{pmatrix}$ = x = 0 . 1 + 1 . x + 0 . x^2 + 0 . x^3

d$\begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 \\<br /> 0 & 0<br /> \end{pmatrix}$ = x + x^2 = 0 .1 + 1 . x + 1 . x^2 + 0 . x^³

d$\begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 \\<br /> 1 & 0<br /> \end{pmatrix}$ = x+2x^2 = 0 . 1 + 1 . x + 2 . x^2 + 0 . x^3

En esta segunda parte no sé cómo se halla el x + x^2 y x + 2x^2 en la segunda y tercera matriz, ¿cómo lo hallan? el conjunto de partida es M2 de R y el de llegada R3 de x ¿no? M2 es la base B? ¿por qué se hace f(A)?


Muchas gracias y Feliz Navidad

[angel relativamente]

Re: Aplicaciones lineales

Hola Carlin. La matriz asociada a $f$ es una matriz que tiene por columnas las imágenes por $f$ de los elementos de $B$, expresados en la base $B'$. Simplemente pues tienes que buscar la imagen por $f$ de cada matriz de la base B. Por ejemplo la imagen del segundo elemento de la base es

$$f\left( \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 \\<br /> 0 & 0<br /> \end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}<br /> 1 & x \\<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 \\<br /> 0 & 0<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> x \\<br /> {x}^{2}<br /> \end{pmatrix}=x+x^2$$

Y por tanto la segunda columna de la matriz de $f$ será $(0,1,1,0)$


Saludos,

[CARLIN]

Re: Aplicaciones lineales

Hola Ángel, me surgió otra duda, ¿el conjunto de partida es R3 [x] ? que sería M2R con sus cuatro elementos ¿no? con dimensión 4, estoy liado con eso, la duda me surgió cuando iba a aplicar

dim R3[x] = dim Imf + dim Kerf en el segundo apartado

Gracias

- - - Actualizado - - -

Buah, traigo más dudas , cuando quieren hallar el kerf, me pierdo un poco por ahí,¿cómo lo hallan?, ¿con las ecuaciones de la imagen?, de dimensión 3, no sé, estoy despistado , así lo hallan:


la dimensión del Kerf (por la fórmula), da 1
$\begin{pmatrix}<br /> a & b \\<br /> c & d<br /> \end{pmatrix} \epsilon kerf$ $\Leftrightarrow$ $f\begin{pmatrix}<br /> a & b \\<br /> c & d<br /> \end{pmatrix}$ = ax + (c+b)x^2 + dx^3 = 0 . 1 + 0 . x + 0 . x^2 + 0 . x^3

a=d= 0 (c+b)=0

No entiendo por qué "x" toma el valor de 1 cuando se multiplica por 0 (0 . 1) a=b=c=d esto lo entiendo porque del kerf es una base formada por neutros

Gracias

[angel relativamente]

Re: Aplicaciones lineales

Hola Ángel, me surgió otra duda, ¿el conjunto de partida es R3 [x] ? que sería M2R con sus cuatro elementos ¿no? con dimensión 4, estoy liado con eso, la duda me surgió cuando iba a aplicar

dim R3[x] = dim Imf + dim Kerf en el segundo apartado

El conjunto de partida es $M_2 (\mathbb{R} )$ y el de llegada $\mathbb{R}_3 [X]$, ambos de dimensión 4.

Buah, traigo más dudas , cuando quieren hallar el kerf, me pierdo un poco por ahí,¿cómo lo hallan?, ¿con las ecuaciones de la imagen?, de dimensión 3, no sé, estoy despistado , así lo hallan:


la dimensión del Kerf (por la fórmula), da 1
$\begin{pmatrix}<br /> a & b \\<br /> c & d<br /> \end{pmatrix} \epsilon kerf$ $\Leftrightarrow$ $f\begin{pmatrix}<br /> a & b \\<br /> c & d<br /> \end{pmatrix}$ = ax + (c+b)x^2 + dx^3 = 0 . 1 + 0 . x + 0 . x^2 + 0 . x^3

a=d= 0 (c+b)=0

No entiendo por qué "x" toma el valor de 1 cuando se multiplica por 0 (0 . 1)

Gracias

El núcleo son los elementos que $f$ envía al 0. Lo que hace es coger un elemento cualquiera del espacio de partida, la matriz $M=\begin{pmatrix}<br /> a & b \\<br /> c & d<br /> \end{pmatrix}$, e imponer $f(M)=0$. La igualdad que no entiendes es que el 0 es un polinomio (pues las imágenes son de $\mathbb{R}_3 [X]$) y es por eso que lo escribe en la forma $0\cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 + 0x^3$ (el polinomio cero es aquel que tiene todos sus coeficientes cero). Por tanto lo único que hace es igualar cada coeficiente del polinomio $f(M)$ a 0, lo que le da las ecuaciones del núcleo.

a=b=c=d esto lo entiendo porque del kerf es una base formada por neutros

Al igualar cada coeficiente a 0 obtiene $a=b=0$ y $b=-c$, que es distinto a lo que tu escribes. Lo que tu escribes no es en general una ecuación de un núcleo, y en particular tampoco lo es de este. Si lo fuese, estarías diciendo que la matriz $M=\begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 \\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix}$ es del núcleo pero en este caso $f(M) \neq 0$

Saludos.