Otras carreras Diferencias entre estos dos espacios vectoriales de dimensión infinita

[alexpglez]

En clase de álgebra y de conjuntos, nos han comentado sin demostración que los espacios vectoriales (con las operaciones habituales):

$$K^{\infty}=\{x \in K^N | \exists n \in N x \in K^n\}$$

Y:

$$K^N=\{x | x: N \longrightarrow K\}$$

Son diferentes, y que mientras el primero tiene una base (por ejemplo la canónica $\{e_i\}_{i\in N} \subset K^N$), el segundo no se le puede construir una base de la misma manera (además que la existencia de la base necesita el axioma de eleccion).

Entiendo que son diferentes. Basta considerar $K=Q$ y cualquier sucesión cuyo límite sea distinto de 0, (ejemplo $\{1\}_{i \in N}$). Sin embargo, intentando ver si existe algún vector de $K^N$ que no se pueda escribir como combinación lineal del subconjunto canónico $\{e_i\}_{i\in N} \subset K^N$, no encuentro ninguno. Es más, creo que he demostrado que lo anterior es una base (cosa que es imposible porque es falso).

¿Qué ejemplo de sucesión definida en $K^N$ no se puede escribir por la combinación lineal de $\{e_i\}_{i\in N} \subset K^N$?

Gracias, saludos.

[Weip]

Re: Diferencias entre estos dos espacios vectoriales de dimensión infinita

Hola. Podemos restringirnos al caso $K=\mathbb{R}$ por simplicidad. Una sucesión de $K^N$ que no se puede escribir haciendo una combinación lineal de los $\{e_i\}_{i\in N}$ es $(1,1,1,...)$. Por si acaso decir que las combinaciones lineales, por definición, involucran sumas de un número finito de términos. Espero haberte ayudado.

[alexpglez]

Re: Diferencias entre estos dos espacios vectoriales de dimensión infinita

Hola. Podemos restringirnos al caso $K=\mathbb{R}$ por simplicidad. Una sucesión de $K^N$ que no se puede escribir haciendo una combinación lineal de los $\{e_i\}_{i\in N}$ es $(1,1,1,...)$. Por si acaso decir que las combinaciones lineales, por definición, involucran sumas de un número finito de términos. Espero haberte ayudado.

No entiendo por qué no se podrían considerar sumas infinitas. No me refiero con esto a tomar el límite, sino a:

$$(1,1,1...)=\sum_{i \in N} e_i$$

[Weip]

Re: Diferencias entre estos dos espacios vectoriales de dimensión infinita

No entiendo por qué no se podrían considerar sumas infinitas. No me refiero con esto a tomar el límite, sino a:

$$(1,1,1...)=\sum_{i \in N} e_i$$

Fíjate que si admites sumas infinitas de vectores así sin más entonces acabas con sumas de vectores que pueden diverger o que ni siquiera tienen sentido. Esto se traduce en que la suma de vectores no siempre es un vector. Y esto es un problema gordo. Para ello hay que tener más precauciones como por ejemplo dotar a tu espacio con una topología y hacer algunas cosillas más. No entro en detalles porque supongo que aún no has visto nada de topología pero bueno la idea que te ha de quedar es que puedes darle sentido a las sumas infinitas de vectores a cambio de acabar con una noción distinta de base a la que te han dado en clase (por tanto distinta a la noción de base que estamos hablando aquí) y como consecuencia, una noción distinta de dimensión. Si quieres buscar información busca las bases de Hamel y las de Schauder. ¡Saludos!