2o ciclo Duda sobre el tensor métrico y la subida y bajada de índices

[thekagas]

Buenos días.

Tengo una duda relacionada con la subida y bajada de índices en geometría diferencial.

Imaginemos que tenemos el tensor [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y queremos bajar su segundo índice $\nu$ con una cierto tensor métrico dado $g_{\alpha \beta}$. Mi pregunta es en qué orden deberíamos poner los indices en la métrica para contraer, pues cabrían varias posibilidades:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo que darían cosas completamente distintas siempre que el tensor métrico no fuese simétrico.
Importa el orden en los índices en un tensor? Estoy un poco hecho un lío con este tema.

Muchas gracias por sus respuestas, un saludo!

[Mossy]

Re: Duda sobre el tensor métrico y la subida y bajada de índices

En general sí que importan, pues al igual que con las matrices no es lo mismo una matriz que su traspuesta. Pero en la geometría de Riemann el tensor métrico es simétrico así que no has de preocuparte nunca por el orden de sus índices.

[pod]

Re: Duda sobre el tensor métrico y la subida y bajada de índices

El tensor métrico es simétrico por definición. Puedes comprobar la definición en la wikipedia, por ejemplo: https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor#Definition