2o ciclo Suma directa de subespacios

[Gottfried]

Hola a todos! Leyendo mi libro de álgebra lineal me surgió una duda con una parte de la demostración de la siguiente Proposición:

Supongamos que $U$ y $W$ son subespacios de $V$. Luego $V=U \oplus W$ si y sólo si $V=U+W$ y $U \cap W=\left\{ 0 \right\}$.

Demostración: (escribo solamente la implicación que no entiendo bien)

$\Leftarrow )$ Supongamos que $V = U + W$ y que $U \cap W = \left\{ 0 \right\}$. Para probar que $V=U \cap W$, supongamos que

$0 = u + w$

Donde $u \in U$ y $w \in W$. Para completar la demostración, sólo necesitamos demostrar que $u = w = 0$ (por Prop. 1.8). La ecuación anterior implica que $u = -w \in W$. Thus (así) $u \in U \cap W$, and hence (y por tanto) $u = 0$ (*). Esto, con la ecuación anterior, implica que $w=0$, completando la prueba.

Donde la Proposición citada es:

Prop. 1.8: Supongamos que ${U}_{1}, ... , {U}_{n}$ son subespacios de $V$. Luego $V={U}_{1} \cap \ldots {U}_{n}$ si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
(a) $V= {U}_{1} + \ldots + {U}_{n}$;
(b) la única manera de escribir el como una suma ${u}_{1} + \ldots + {u}_{n}$, donde cada ${U}_{j}$, es tomando todos los ${u}_{j}$'s igual a .

Mi duda me surge en la oración con asterísco, no entiendo cómo se concluye de la intersección que $u=0$. Aclaro que el libro está en inglés y agregué las palabras en inglés originales del texto ya que tal vez estoy interpretando mal su significado.

Muchas gracias de antemano.

[Weip]

Re: Suma directa de subespacios

Mi duda me surge en la oración con asterísco, no entiendo cómo se concluye de la intersección que $u=0$.

Hola. La demostración de esa implicación empieza diciendo "Supongamos que $V=U+W$ y que $U \cap V=\left\{ 0\right\}$". Luego sigue y demuestra que $u\in U \cap V$ que junto con $U \cap V=\left\{ 0\right\}$ implican $u=0$. Supongo que has leído rápido y no has visto que la intersección entre $U$ y $V$ solo contiene el vector nulo por hipótesis y por tanto cualquier vector en la intersección es necesariamente el cero.

[Gottfried]

Re: Suma directa de subespacios

Supongo que has leído rápido y no has visto que la intersección entre $U$ y $V$ solo contiene el vector nulo por hipótesis y por tanto cualquier vector en la intersección es necesariamente el cero.

Eso es exactamente lo que sucedió, muchas gracias!