2o ciclo Significado símbolo |-> en álgebra lineal

[Gottfried]

Hola a todos! Quisiera saber cuál es la definición del símbolo $\mapsto$ en el contexto del álgebra lineal, lo he visto en varias ocasiones pero nunca me lo han definido.
Dejo dos ejemplos donde lo he encontrado:

1) La transformación más simple es la traslación (shift), donde cada punto (vector) $\textbf{v}$ es trasladado $\textbf{a}$, i.e. el vector $\textbf{v}$ es reemplazado por $\textbf{v} + \textbf{a}$ (se usa la notación $\textbf{v} \mapsto \textbf{v} + \textbf{a}$ para esto).

2) Los números ${x}_{1}, {x}_{2}, ... , {x}_{n}$ se denominan coordenadas del vector $\textbf{v}$ en la base $\mathcal{B}$. Es conveniente unir estas coordenadas en el denominado vector de coordenadas $\textbf{v}$ relativo a la base $\mathcal{B}$, que es el vector columna

${[\textbf{v}]}_{\mathcal{B}}:= {({x}_{1},{x}_{2}, \ldots ,{x}_{n})}^{t} \in {\mathbb{R}}^{n}$.

Hay que notar que el mapeo

$\textbf{v} \mapsto {[\textbf{v}]}_{\mathcal{B}$

es un isomorfismo entre $V$ y ${\mathbb{R}}^{n}$. Transforma la base ${\textbf{v}}_{1},{\textbf{v}}_{2},\ldots,{\textbf{v}}_{n}$ a la base estándar ${\textbf{e}}_{1},{\textbf{e}}_{2},\ldots,{\textbf{e}}_{n}$ en $\mathbb{R}}^{n}$.

Muchas gracias y saludos!

[Weip]

Re: Significado símbolo |-> en álgebra lineal

Hola. El símbolo del que hablas no es propio del álgebra lineal sino de todas las matemáticas. Significa que hay una aplicación que coge un elemento del dominio y lo lleva a otro elemento en la imagen. Usando tu ejemplo de la translación, básicamente esta aplicación coge tu vector $v$ y lo lleva a $v+a$. Es como si pusieras $T(v)=v+a$ donde $T$ es la aplicación translación. Un ejemplo de cálculo para que veas que esto no es exclusivo del álgebra puede ser la función real $f$ que hace la asignación $x \mapsto x^2$, es decir, coge un número y lo eleva al cuadrado. Esto es lo mismo que escribir $f(x)=x^2$.

PD: Fíjate que en Latex este símbolo se llama "maps to", es decir, "mapea a" o "asigna a". El nombre ya te habla un poco del significado.

[Gottfried]

Re: Significado símbolo |-> en álgebra lineal

Hola. El símbolo del que hablas no es propio del álgebra lineal sino de todas las matemáticas. Significa que hay una aplicación que coge un elemento del dominio y lo lleva a otro elemento en la imagen. Usando tu ejemplo de la translación, básicamente esta aplicación coge tu vector $v$ y lo lleva a $v+a$. Es como si pusieras $T(v)=v+a$ donde $T$ es la aplicación translación. Un ejemplo de cálculo para que veas que esto no es exclusivo del álgebra puede ser la función real $f$ que hace la asignación $x \mapsto x^2$, es decir, coge un número y lo eleva al cuadrado. Esto es lo mismo que escribir $f(x)=x^2$.

PD: Fíjate que en Latex este símbolo se llama "maps to", es decir, "mapea a" o "asigna a". El nombre ya te habla un poco del significado.

No escribí esto, pero generalmente encuentro escrito lo siguiente: $f$ es la función que hace la asignación $x \to x^2$, o sea, utilizando el $\to$ en lugar del $\mapsto$. Por eso me surgió la duda, pensé que podría existir alguna diferencia entre poner el $\mapsto$ en lugar del $\to$. Aunque el $\to$ siempre aparece para escribir el dominio y codominio de la función, por ejemplo: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

[alexpglez]

Re: Significado símbolo |-> en álgebra lineal

Hola Gottfried!
Lo estándar en matemáticas es utilizar una flecha larga $\longrightarrow$ para decir de donde a donde va una función y la flecha $\mapsto$ para decir que hace la función. Se usa una flecha doble para la implicación lógica.
En lógica y lógica matemática es igual excepto que se usa la flecha simple $\rightarrow$ en vez de la flecha doble.
La flecha algo más corta \to de latex $\to$ creo que se suele usar más para límites.

Edito: Veo que la flecha \to y \rightarrow llaman a la misma flecha
Saludos

[Gottfried]

Re: Significado símbolo |-> en álgebra lineal

Hola alexpglez! Muchas gracias por tu esclarecedora respuesta.

Saludos!