1r ciclo Ejercicio vectores

[Visitante]

Hola,
Debo admitir que este ejercicio es bastante sencillo, pero lo pongo porque tengo una duda:

Dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ cumplen la condición:

$\left\vert{} \vec{a} + \vec{b} \right\vert{} = \left\vert{} \vec{a} - \vec{b} \right\vert{}$

Demuestra que ambos vectores son perpendiculares.

Yo lo he hecho dibujando los vectores, y se ve a simple vista, sin embargo ¿Hay una manera matemática de demostrarlo? Es que la demostración que he conseguido no me parece muy formal.

[pod]

Re: Ejercicio vectores

Pista:

Utiliza la siguiente igualdad

$$\Big| \vec v \Big|^2 = \vec v \cdot \vec v .$$

Donde $\cdot$ es el producto escalar.

[skynet]

Re: Ejercicio vectores

ponles componentes $(a_1, a_2) y (b_1,b_2)$ sumalos y calcula el modulo luego restalos y calcula de nuevo el modulo, iguala las expresiones y simplifica obtendrás que $a_1 b_1=-a_2 b_2$ y eso es porque sus pendientes cumplen $m_1=-1/m_2$ que es la condición para que sean perpendiculares

[Alriga]

Re: Ejercicio vectores

Aplicando lo que dice pod sale fácil y se puede aplicar en general a vectores de $\mathbb R^n$ con la definición del producto escalar euclideo.

$|\vec a+\vec b|=+\sqrt{(\vec a+\vec b) \cdot (\vec a+\vec b)}=+\sqrt{a^2+b^2+2(\vec a \cdot \vec b)}$

$|\vec a-\vec b|=+\sqrt{(\vec a-\vec b) \cdot (\vec a-\vec b)}=+\sqrt{a^2+b^2-2(\vec a \cdot \vec b)}$

Si $|\vec a+\vec b|=|\vec a-\vec b| \Rightarrow +\sqrt{a^2+b^2+2(\vec a \cdot \vec b)}=+\sqrt{a^2+b^2-2(\vec a \cdot \vec b)}$

$2(\vec a \cdot \vec b)=-2(\vec a \cdot \vec b)$

$4(\vec a \cdot \vec b)=0$

$\vec a \cdot \vec b=0$

El producto escalar de dos vectores solo es nulo cuando al menos uno de los dos es nulo o cuando son perpendiculares, c.q.d.

saludos.