Divulgación Problema de vectores y calculo de distancias

[inakigarber]

Buenas noches;Se me ha planteado el siguiente problema que no se como resolver;
Dado un punto Q=(-3,6,12) consideremos un vector (Vf) que pasa por este punto siendo ademas paralelo al vector V=(4, -1, 3), calcular la distancia con respecto al punto P=(4, 5, -7). Solución 19,52.No alcanzo la forma de calcular esta distancia.

Considero que el vector final (al que llamo Vf) tiene los mismos cosenos directores que el vector V (ya que son paralelos). El cálculo de estos cosenos me da;$Cos(a)=0,748$, $Cos(b)=-0,196$, $Cos(\gamma)=0.5883$, calculo las tangentes que corresponden a estos ángulos;$Tg(a)=0,5859$, $Tg(b)=1,05609$, $Tg(\gamma)=0.755$
Una vez llegado aquí me pierdo y no se como seguir.
¿Como debo seguir?

[Breogan]

Re: Problema de vectores y calculo de distancias

Hola:

Dado un punto Q=(-3,6,12) consideremos un vector (Vf) que pasa por este punto siendo ademas paralelo al vector V=(4, -1, 3), calcular la distancia con respecto al punto P=(4, 5, -7). Solución 19,52.No alcanzo la forma de calcular esta distancia.

En realidad hay muchas formas de solucionar este problema, te paso una forma de solucionarlo en base a vectores, como dice el titulo del hilo.
Voy a usar el producto vectorial, aunque también se puede hacer con el producto escalar aunque con mas pasos.

Primero definimos y damos nombres a dos vectores aplicados en el punto Q:

$\dst \vec A = 4 \ \hat{\imath} - 1 \ \hat{\jmath} + 3 \ \hat{k}$

$\dst \vec B = P - Q = (4, 5, -7) - (-3,6,12) = 7 \ \hat{\imath} -1 \ \hat{\jmath} - 19 \ \hat{k}$

Por definición de producto vectorial:

$\dst | \vec A \ \times \ \vec B | = |\vec A| \ |\vec B | \ sen \theta$

Donde $\theta$ es el angulo comprendido entre los dos vectores.
Hace el dibujo vas a ver que la distancia entre el punto P y el vector A es un cateto del triangulo rectangulo formado ademas por el vector B como la hipotenusa, y su proyección sobre A como el otro cateto. Por esto:

$\dst d = | \vec B | \ sen \theta = \frac {| \vec A \ \times \ \vec B |}{|\vec A|}$

$\dst \vec A \ \times \ \vec B = \left| \begin{aligned} \hat{\imath} && \hat{\jmath} && \hat{k} \\ 4 && -1 && 3 \\ 7 && -1 && -19 \end{aligned} \right|$ $\dst = 22 \ \hat{\imath} + 97 \ \hat{\jmath} + 3 \hat{k}$

$\dst | \vec A \ \times \ \vec B | = \sqrt{9902}$

$\dst |\vec A| = \sqrt{26}$

$\dst d = 19, 5153$

s.e.u.o.

Suerte!!

[inakigarber]

Re: Problema de vectores y calculo de distancias

Estoy algo perdido, no consigo visualizar este problema.

[alexpglez]

Re: Problema de vectores y calculo de distancias

¿Está mal redactado el problema?
Según tengo entendido, sea la recta $r$ que pasa por $Q$ y de dirección $V$. Sea $P$ otro punto. Calcular la distancia entre la recta y el punto: $dist(P,r)$.
La fórmula que ha dado Broegan se podría deducir así:
La distancia entre P y r, será la menor distancia entre cualquier punto de la recta y P, llamémosle Q' al punto de la recta cuya distancia es la menor a P. Pero si dibujamos la recta, vemos que la recta Q'P es ortogonal a la recta r.
Ahora podemos optar por hacer dos cosas.
1) Calcular "a saco" una recta r' ortogonal a r que pasa por P, calcular la intersección de esa recta con r, que va a dar Q' y calcular la distancia entre Q' y r
2) Darnos cuenta, que la proyección sobre el plano ortogonal a r del vector QP nos da Q'P. Calcular pues la distancia a partir de aquí.

Voy a optar por el 2) (y de paso demostrar la fórmula que ha puesto Broegan). Hay tres vectores ortonormales, $v=\frac{\vec V}{\vert \vec V \vert}$ , el vector director de r' (llamémosle $\vec u$ y cojámoslo normalizado y en sentido positivo respecto a QP), y otro vector (llamémosle $\vec z$ normalizado y ortogonal a los dos). Cualquier vector se va a poder escribir como combinación lineal de los tres (omitiré a partir de ahora la raya de vector por ahorrar tiempo) $W=(W\cdot v)v+(W\cdot u)u+(W\cdot z)z$. Para nuestro caso particular, $QP \cdot z=0$ y $QP \cdot v =\vert QP \vert$ pero más importante $QP \cdot u=\vert Q'P \vert=d(r,P)$.

$$QP=(QP \cdot v)v+\vert Q'P \vert u$$

De donde, como v y u son ortonormales:

$$\vert QP \vert^2=(QP \cdot v)^2+ \vert Q'P \vert^2$$

Luego:

$$d(r,P)=\vert Q'P \vert=\sqrt{\vert QP \vert^2-(QP \cdot v)^2}$$

Además, en R^3 se cumple que $\vert A \times B \vert^2+(A \cdot B)^2=\vert A \vert^2 \vert B \vert^2$. Y notando que $\vert v \vert=1$:

$$d(r,P)=\sqrt{\vert QP \vert^2 \vert v \vert^2-(QP \cdot v)^2}=\vert QP \times v \vert=\vert QP \times \frac{V}{\vert V \vert} \vert=\frac{\vert \vec{QP} \times \vec V \vert}{\vert \vec V \vert}$$

Saludos

PD: Con un dibujo quizá se entienda mejor lo que estoy tratando de decir

[Breogan]

Re: Problema de vectores y calculo de distancias

Hola:

Como dice alexpglez la distancia entre un punto y una recta, es la distancia mínima entre estos dos objetos, y esta es la que se mide sobre la perpendicular a la recta.

Te dejo un dibujo para que veas si lo entendes un poco mas.

Me olvide de ponerle nombre a la distancia pedida en el dibujo, correponde a la linea punteada.

s.e.u.o.

Suerte!!

- - - Actualizado - - -

Hola:

Te dejo un link donde se explica de forma bastante facil el tema de la distancia entre un punto y una recta.

https://aga.frba.utn.edu.ar/distanci...ta_en_mathbbR3

Suerte!