1r ciclo Bases en R2[x]

[Visitante]

El ejercicio dice así

En se consideran los polinomios , y ¿Forman base?

Sé que se hace mediante un isomorfismo pasar el vector a , trabajar ahí y luego volver con el resultado, pero no sé cómo hacerlo numéricamente...

[Richard R Richard]

Re: Bases en R2[x]

para formar base quiere decir que podrías lograr formar cualquier polinomio del espacio $E=R_2[X]$

$E=a(1+x+x^2)+b(1-x+x^2)+c(1+x-x^2)$

$E=(a+b+c)\cdot 1+(a-b+c)\cdot x+(a+b-c)\cdot x^2$

$E=\begin{vmatrix} a&b&c\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} 1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix} 1\\x\\x^2\end{vmatrix}$

demuestra que los tres vectores fila de la matriz son linealmente independientes , y confirmaras que son una base, creo si el determinante de la matriz es nulo los vectores son linealmente dependientes.

muy didactico no soy pero es lo que recuerdo, saludos

[arivasm]

Re: Bases en R2[x]

Una base para E es {1,X,X²}. En ella los polinomios que mencionas son (1,1,1), (1,-1,1) y (1,1,-1). ¿Forman un conjunto linealmente independiente? Una forma de saberlo es determinar el rango de la matriz que constituyen los tres, que si no me equivoco es 3. Por tanto sí son linealmente independientes. Por otra parte, está claro que es un conjunto generador mínimo. En conclusión sí es una base.

Seguro que hay maneras de decirlo más formalmente, pero espero haber ayudado.

Añado: veo que R³ (Hola Richard!) ha contestado casi al mismo tiempo y que apunta en la misma dirección.

[Weip]

Re: Bases en R2[x]

Por si acaso aún no has dado matrices y determinantes en tu asignatura de álgebra (yo por estas fechas aún no los había dado y por tanto no los podía usar) decir que el ejercicio se puede hacer directamente por definición de vectores linealmente independiente. Para ello haz una combinación lineal de los tres polinomios y la igualas a cero. Entonces puedes dar tres valores concretos a $x$ (los que quieras) para acabar con un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas (los tres escalares de la combinación lineal). Prueba que la única solución del sistema es la trivial y ya tendrás que los tres polinomios son linealmente independientes y por tanto, base. Si encuentras alguna solución no trivial entonces los polinomios no formarán base.

[Visitante]

Re: Bases en R2[x]

Por si acaso aún no has dado matrices y determinantes en tu asignatura de álgebra (yo por estas fechas aún no los había dado y por tanto no los podía usar) decir que el ejercicio se puede hacer directamente por definición de vectores linealmente independiente. Para ello haz una combinación lineal de los tres polinomios y la igualas a cero. Entonces puedes dar tres valores concretos a $x$ (los que quieras) para acabar con un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas (los tres escalares de la combinación lineal). Prueba que la única solución del sistema es la trivial y ya tendrás que los tres polinomios son linealmente independientes y por tanto, base. Si encuentras alguna solución no trivial entonces los polinomios no formarán base.

Hola,
Sí eso fue precisamente lo que hice, pero mi duda va más encaminada sobre si este procedimiento es correcto, ¿lo que haces es pasar las coordenadas del 0 respecto de esta base a la estándar? ¿Y no se puede hacer con un isomorfismo? Es que el ejercicio viene justamente después de isomorfismos y esa es mi duda.

[Weip]

Re: Bases en R2[x]

¡Buenas!

Hola,
Sí eso fue precisamente lo que hice, pero mi duda va más encaminada sobre si este procedimiento es correcto, ¿lo que haces es pasar las coordenadas del 0 respecto de esta base a la estándar? ¿Y no se puede hacer con un isomorfismo? Es que el ejercicio viene justamente después de isomorfismos y esa es mi duda.

Si quieres puedes usar que $\mathbb{R}_2[x]$ es isomorfo a $\mathbb{R}^3$ pero en mi opinión es dar vueltas para acabar argumentando de la misma forma que antes. A mi modo de ver tu profesor/profesora querrá ver el razonamiento que has hecho en $\mathbb{R}_2[x]$ (el que he descrito en mi anterior mensaje).

[Visitante]

Re: Bases en R2[x]

¡Buenas!

Si quieres puedes usar que $\mathbb{R}_2[x]$ es isomorfo a $\mathbb{R}^3$

¿Y cómo lo harías en este caso?

[alexpglez]

Re: Bases en R2[x]

¿Y cómo lo harías en este caso?

Necesitas conocer para ello el isomorfismo para hacer todo el ejercicio usando que son isomorfos. Si sólo sabes que dos espacios son isomorfos, sólo puedes saber que tienen la misma dimensión.
El isomorfismo más sencillo, consiste en un $f$ tal que:

$$f((a,b,c))=a+bx+cx^2$$

Luego, una de las propiedades de los isomorfismos, es que un conjunto de vectores (por ejemplo $\{(1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)\}$) forman una base de $\mathbb R^3$ si y sólo si sus imágenes (en este caso $\{1+x+x^2,1-x+x^2,1+x-x^2\}$) forman una base de $\mathbb R_{\leq 2}[x]$.
Luego basta ver que $\{(1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)\}$ es una base de $\mathbb R^3$, que es lo que ya te han indicado antes.

PD: coincido con Weip en que quizá el profesor quiere que razones en el mismo espacio y no trabajar en $R^3$. Para ver que es base bastaría ver que son linealmente independientes y generan todo el espacio de polinomios de grado menor que 2.

- - - Actualizado - - -

El isomorfismo más sencillo, consiste en un $f$ tal que:

$$f((a,b,c))=a+bx+cx^2$$

Además, estaba pensando que si usas este isomorfismo, probablemente tendrías que demostrar que lo es.