Secundaria Variedades

[Alofre]

Hola, he estado leyendo sobre variedades y me han surgido algunas dudas:
A) Cuando decimos que una esfera es una 2-variedad, dos es la dimensión? Por que una esfera tiene 3 dimensiones...
B) Entonces una 3-variedad, que sería? Un espacio en cuatro dimensiones?
Gracias!

[Weip]

Re: Variedades

Hola, he estado leyendo sobre variedades y me han surgido algunas dudas:
A) Cuando decimos que una esfera es una 2-variedad, dos es la dimensión? Por que una esfera tiene 3 dimensiones...

Una 2-variedad es bidimensional, sí. Pero piensa que una esfera es una 2-variedad porque tiene dimensión 2. Pensar que la esfera tiene 3 dimensiones porque puedes "meterla" en $\mathbb{R}^3$ es tan arbitrario como pensar que tiene $2145465$ dimensiones porque puedes "meter" la esfera en $\mathbb{R}^{2145465}$.

Dicho de forma más técnica, la esfera es una variedad topológica de dimensión 2 porque es localmente euclídea de dimensión 2, es decir, todo punto de la esfera tiene un entorno homeomorfo a $\mathbb{R}^2$. (Edito: No vi que el nivel del hilo es Secundaria. Lo que vengo a decir en esta línea es que si te "acercas" mucho a la esfera, parece plana, parece $\mathbb{R}^2$. De aquí que la esfera tenga dimensión 2).

B) Entonces una 3-variedad, que sería? Un espacio en cuatro dimensiones?
Gracias!

No, una 3-variedad sería una variedad de 3 dimensiones, y eso nuestro cerebro no lo puede imaginar. Insisto que pensar que todas las variedades están "metidas" es un espacio de dimensión superior es incorrecto, no tienen porqué estarlo.

PD: En muchos libros verás que a las 2-variedades se les llama también superficies.

[Alriga]

Re: Variedades

Como te ha explicado Weip, cuando los matemáticos dicen "Esfera" se están refiriendo a la superficie, cuando quieren referirse al volumen del interior de la esfera, le llaman "Bola". Los matemáticos son así

Saludos.

[alexpglez]

Re: Variedades

Creo que se puede precisar un poco más lo dicho por Weip.
Una 2-variedad es "conjunto" de puntos (o espacio) tales que en las cercanías del punto (ya sean unas cercanías grandes o pequeñas), se pueden escoger dos parámetros ($\mathbb R^2$) para describir esas cercanías de forma continua con inversa continua. Puede ser que esos parámetros describan todo el espacio, pero generalmente se necesita trocear el espacio y en cada trozo introducir 2 parámetros. Además, el hecho de usar estos 2 parámetros es por lo que las superficies parecen planas, y si no necesitas trocear el espacio para introducir los parámetros ¿no parece esta superficie completamente un plano?. Esta definición es la misma para una variedad de dimensión más alta (sólo se cambia el número de parámetros).

Por ejemplo, para especificar las coordenadas de un punto cualquiera de la superficie de la esfera, se necesitan dos ángulos, esto nos muestra que la superficie de una esfera es una 2-variedad. Para especificar las coordenadas de un punto en nuestro espacio físico, uno necesita 3 parámetros, luego nuestro espacio es un 3-variedad, y si añadimos el tiempo vemos que nuestro espacio-tiempo es una 4-variedad.
Sin embargo, no es sencillo imaginar variedades de 3 o más dimensiones. De 3 dimensiones ya hemos visto que el único ejemplo visual que conocemos es la totalidad de nuestro espacio físico, y de 4 dimensiones el espacio-tiempo. Con mucha imaginación podemos ver que si en el espacio-tiempo dejamos nuestro tiempo fijo, tenemos una 3-variedad, el espacio físico en un tiempo dado. No tenemos tantos ejemplos visuales como en el caso de las 1-variedades y las 2-variedades, las curvas y las superficies de nuestro espacio físico.

[Schwarze97]

Re: Variedades

Una esfera tiene 2 dimensiones, pero (hablando informalmente) son dimensiones curvas, no planas.

[Alriga]

Re: Variedades

Una esfera tiene 2 dimensiones, pero (hablando informalmente) son dimensiones curvas, no planas.

Discrepo, no creo que se deba decir eso ni siquiera informalmente: el número de dimensiones de un objeto matemático es el número mínimo de coordenadas necesarias para especificar de forma unívoca un punto del objeto. Para especificar un punto arbitrario de la esfera se necesita un mínimo de 2 números, por lo tanto la esfera tiene 2 dimensiones.

Que en la esfera las geodésicas (distancia mas corta entre 2 puntos) no sean rectas sino curvas, (arcos de circunferencia), no debería dar pie a decir que "la esfera tiene 2 dimensiones que son curvas"

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Variedades

Que en la esfera las geodésicas (distancia mas corta entre 2 puntos) no sean rectas sino curvas, (arcos de circunferencia), no debería dar pie a decir que "la esfera tiene 2 dimensiones que son curvas"
.

Con el agravante de que podría llevar a pensar que la superficie de un cilindro es una variedad con curvatura positiva, cuando, en realidad, tiene curvatura nula.

Saludos.

[Weip]

Re: Variedades

Con el agravante de que podría llevar a pensar que la superficie de un cilindro es una variedad con curvatura positiva, cuando, en realidad, tiene curvatura nula.

Saludos.

Por dar un poco más de información, tal como dices la curvatura de Gauss de un cilindro es cero, por tanto con la curvatura no se puede distinguir un cilindro de un plano a menos que metamos estas superficies en $\mathbb{R}^3$: en este caso la curvatura media del cilindro es positiva mientras que la curvatura media del plano es cero. En este contexto se suele decir que los puntos del cilindro son parabólicos.

[Alriga]

Re: Variedades

Por dar un poco más de información, tal como dices la curvatura de Gauss de un cilindro es cero, por tanto con la curvatura no se puede distinguir un cilindro de un plano a menos que metamos estas superficies en $\mathbb{R}^3$: en este caso la curvatura media del cilindro es positiva mientras que la curvatura media del plano es cero. En este contexto se suele decir que los puntos del cilindro son parabólicos.

Sobre los cuatro tipos de puntos en superficies según las curvaturas, (hiperbólicos, elípticos, parabólicos y planos):

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La curvatura de Gauss de un punto de una superficie es el producto de sus dos curvaturas principales:

$K=k_1 \cdot k_2$

- Puntos elípticos: las dos curvaturas principales $k_1$ y $k_2$ tienen el mismo signo. La curvatura de Gauss $K=k_1 \cdot k_2>0$ es positiva

- Puntos hiperbólicos: las dos curvaturas principales tienen distinto signo. La curvatura de Gauss $K=k_1 \cdot k_2<0$ es negativa

- Puntos parabólicos: una de las curvaturas principales es cero y la otra es distinta de cero. La curvatura de Gauss $K=k_1 \cdot 0=0$ es nula

- Y el toro no tiene ningún punto plano, que por definición es aquel en el que las dos curvaturas principales son cero $k_1=k_2=0 \ \Rightarrow \ K=0 \cdot 0=0$

Saludos.