Otras carreras No entiendo la nomenclatura en esta demostración

[danielandresbru]

Hola estaba viendo una demostración de que el volumen de aplicacion lineal "L" a una región "A" cualquiera, es el det(L) por el volumen de "A", es decir: $v( L(A) )= \det(\bold{L}) \cdot v(A)$.

En donde la aplicacion lineal "L" es: $L(\vec{x})= \bold{L} \cdot \vec{x}$.

Para ello se parte de que ya es conocida de que la afirmación es cierta, si A es una región rectangular (en n dimensiones)

La demostración es la siguiente: "Sea S un rectángulo que contiene a A y tomemos [FONT=arial]ε[/FONT]>0 cualquiera. Como A tiene volumen existe una partición P de S tal que

$U(1_A ,P) -v(A) \le \displaystyle \frac{\varepsilon}{|\det(\bold{L})|}$ y $v(A) -L(1_A ,P) \le \displaystyle \frac{\varepsilon}{|\det(\bold{L})|}$

Sean entonces $V=V_{\varepsilon}= \cup \{ Q \in P : Q \subseteq A \}$, y $W=W_{\varepsilon}= \cup \{ Q \in P : Q \cap A \neq \emptyset \}$. Por lo anterior se tiene que

$v(L(V)) = \displaystyle \sum_{Q \in P, Q \subseteq A} v(L(Q))= \sum_{Q \in P, Q \subseteq A}| \det( \bold{L})| \cdot v(Q)$

$| \det( \bold{L})| L(1_A ,P) \ge \det( \bold{L})|v(A)-\varepsilon$

y análogamente $v(L(W))\le \det( \bold{L})|v(A)+ \varepsilon$.

Ahora, como $V \subseteq A \subseteq W$ tenemos que $L(V) \subseteq L(A) \subseteq L(W)$ y como ya sabemos que L(A) tiene volumen, esto impone que

$| \det( \bold{L})|v(A)-\varepsilon \le v(L(V)) \le v(L(A)) \le v(L(W)) \le | \det( \bold{L})|v(A) +\varepsilon$

y como [FONT=arial]ε es arbitrariamente pequeño se deduce que

$v(L(A))=$[/FONT]$| \det( \bold{L})|v(A)$ "[FONT=arial]

[/FONT]




Mi principal duda es en la notación que no se a que se refiere $L(1_A ,P)$
y luego sería que se muy buen que es V y W.

Agradezco mucho vuestra ayuda de antemano

[angel relativamente]

Re: No entiendo la nomenclatura en esta demostración

Hola,
Pues ni idea de qué es $U(1_A, P), L(1_A, P)$, le falta demasiado contexto a esa demostración. Quizá convendría que revisaras un poco la fuente, porque seguro lo han debido explicar.
Como dato, la notación $1_A$ suele hacer referencia a una aplicación que vale $1$ en el dominio $A$ y en el resto del dominio. Por ejemplo, si quieres restringir la parábola $f(x)=x^2$ al intervalo $[0,2]$ puedes escribir $f(x)=x^2\cdot 1_{[0,2]}$. Pero ni siquiera tengo claro que sea eso lo que signifique aquí.

La definición de $V,W$ es más clara, ya que lo hace con los elementos predefinidos. En este caso tenemos $A$ un rectángulo (pensemoslo en 2D) y $S$ uno que lo contiene. Si haces una partición de $S$ (esto es, lo divides en trozos disjuntos tal que la unión de todos ellos te den $S$), define $V$ como el conjunto unión de los elementos de la partición contenidos en $A$, y $W$ como la unión de los elementos de la partición que intersecan con A.

Saludos,

[Weip]

Re: No entiendo la nomenclatura en esta demostración

Como dato, la notación $1_A$ suele hacer referencia a una aplicación que vale $1$ en el dominio $A$ y en el resto del dominio. Por ejemplo, si quieres restringir la parábola $f(x)=x^2$ al intervalo $[0,2]$ puedes escribir $f(x)=x^2\cdot 1_{[0,2]}$. Pero ni siquiera tengo claro que sea eso lo que signifique aquí.

danielandresbru, por si quieres buscar información sobre ella, a esta función se le llama función indicadora (o indicatriz, o característica; cuestión de nombres).

Sobre tu pregunta concreta pues te hablo en la línea de lo que te ha dicho angelrelativamente: no es una notación estándar así que necesitaríamos algunas definiciones previas antes de decirte algo.

[danielandresbru]

Re: No entiendo la nomenclatura en esta demostración

Hola weip muchas gracias, pero no puedo ver el resto del contexto ya que esa información la saque de un fragmento de un libro que conseguí, pero es todo lo que conseguí. Pero igualmente muchas gracias