Otras carreras Calculo de volumen

[danielandresbru]

Hola quisiera saber si sabéis alguna manera práctica de hallar el volumen formado por 3 vectores en un espacio de R5.
Por ejemplo el volumen que se forma entre los vectores $\vec{u},\vec{v}, \vec{w} \in R^5$.
Estaba pensando en formas de hacerlo pero eso incluía hallar el angulo mínimo entre un vector y un plano, y me parecía que quizás se pueda hacer de otra forma más sencilla.

Gracias de antemano

[carroza]

Re: Calculo de volumen

Hola.

El volumen del prisma definido por los tres vectores es el producto mixto $\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)$. El volumen del tetraedro irregular el lo anterior dividido por 6.

Saludos

[Weip]

Re: Calculo de volumen

Hola danielandresbru.

Hola quisiera saber si sabéis alguna manera práctica de hallar el volumen formado por 3 vectores en un espacio de R5.
Por ejemplo el volumen que se forma entre los vectores $\vec{u},\vec{v}, \vec{w} \in R^5$.
Estaba pensando en formas de hacerlo pero eso incluía hallar el angulo mínimo entre un vector y un plano, y me parecía que quizás se pueda hacer de otra forma más sencilla.

Gracias de antemano

El volumen de tres vectores en $\mathbb{R}^5$ se calcula de la siguiente forma:

$V(u, v, w)=+\sqrt{\text{det}G}$

Donde $G$ es la matriz de Gram con el producto escalar usual:

$G=\dst\left( \begin{matrix} \left< u,u\right>&\left< u,v\right>&\left< u,w\right>\\ \left< v,u\right>&\left< v,v\right>&\left< v,w\right>\\ \left< w,u\right>&\left< w,v\right>&\left< w,w\right>\end{matrix} \right)$

De hecho esto sirve en dimensión arbitraria con lo que puedes calcular estos volumenes en $\mathbb{R}^n$ de forma rápida y sencilla.

Hola.

El volumen del prisma definido por los tres vectores es el producto mixto $\vec u \cdot (\vec v \times \vec w)$. El volumen del tetraedro irregular el lo anterior dividido por 6.

Saludos

Esto sería en $\mathbb{R}^3$ pero en cinco dimensiones ni siquiera existe producto vectorial.

[danielandresbru]

Re: Calculo de volumen

Muchas Gracias Weip, sabes de algún sitio donde se pueda conseguir la demostración de este teorema?

[Weip]

Re: Calculo de volumen

Muchas Gracias Weip, sabes de algún sitio donde se pueda conseguir la demostración de este teorema?

Página 23, teorema 2.2. Realmente es un teorema muy útil que se usa mucho porque para calcular volumenes solo con la definición hay que manipular bases y es más farragoso.

[Alriga]

Re: Calculo de volumen

... Página 23, teorema 2.2 ...

Al acceder al enlace, veo el pdf borroso e ilegible. ¿Es un problema mío o todos lo veis así?

Gracias y saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Calculo de volumen

Al acceder al enlace, veo el pdf borroso e ilegible. ¿Es un problema mío o todos lo veis así?

Gracias y saludos.

A mí me sucede lo mismo.

[Ulises7]

Re: Calculo de volumen

A mí me pasaba lo mismo. Lo recargué y ahora lo veo bien. La magia de internet y la informática...

[Alriga]

Re: Calculo de volumen

... Lo recargué y ahora lo veo bien ...

Gracias, he probado a recargarlo más de 20 veces con Google Chrome y sigo sin ver nada. En cambio, se me ha ocurrido ahora probar con Microsoft Edge y se ve perfecto a la primera.

... La magia de internet y la informática ...

Sí, sin duda, saludos

[Weip]

Re: Calculo de volumen

Al acceder al enlace, veo el pdf borroso e ilegible. ¿Es un problema mío o todos lo veis así?

Gracias y saludos.

A mí me sucede lo mismo.

A mí me pasaba lo mismo. Lo recargué y ahora lo veo bien. La magia de internet y la informática...

Gracias, he probado a recargarlo más de 20 veces con Google Chrome y sigo sin ver nada. En cambio, se me ha ocurrido ahora probar con Microsoft Edge y se ve perfecto a la primera.



Sí, sin duda, saludos

Ya, es muy extraño, ayer a veces se veía bien y a veces mal. Ahora lo he estado probando y parece que va bien, al menos para mí (utilizo Google Chrome). Pero estoy como vosotros, no entiendo el motivo.

[Jaime Rudas]

Re: Calculo de volumen

Ya, es muy extraño, ayer a veces se veía bien y a veces mal. Ahora lo he estado probando y parece que va bien, al menos para mí (utilizo Google Chrome). Pero estoy como vosotros, no entiendo el motivo.

A mí, en cambio, todavía no me funciona, ni con Chrome no con Edge.

[danielandresbru]

Re: Calculo de volumen

A mi me sale borroso desde el móvil, pero desde el ordenador se me ve bien

[Fortuna]

Re: Calculo de volumen

Hola danielandresbru.

Buenos días

Esto sería en $\mathbb{R}^3$ pero en cinco dimensiones ni siquiera existe producto vectorial.

Para cuatro dimensiones he leído que se puede hacer un producto vectorial de 3 vectores de la siguiente forma

La definición de producto vectorial tetradimensional se suele hacer como producto de 3 vectores, de la siguiente forma:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Las propiedades del producto vectorial de cuatro dimensiones se pueden leer en este enalce


1. El vector resultante es ortogonal a los tres vectores factor u, v, w y por lo tanto, al hiperplano, en el cual yacen los tres vectores.


2. Si se hace el producto punto con un cuarto vector, el valor absoluto del resultado es el volumen del paralelepípedo tetradimensional determinado por los cuatro vectores.


3. Una consecuencia del punto anterior es que se puede interpretar el producto vectorial de los tres vectores como un vector cuya magnitud es igual al hiperárea (o volumen) del paralelepípedo en tres dimensiones, determinado por los tres vectores u, v, w.


4. El producto vectorial $u\times v\times w$ es una función multilineal de las componentes de los factores y por lo tanto, por las propiedades de los determinantes, satisface la ley distributiva con respecto a la suma de escalares y la suma vectorial.

He incluso se deduce como hallar productos vectoriales de n-1 vectores en un espacion n-dimensional.

Saludos.

[Alriga]

Producto vectorial de 3 vectores tetradimensionales

... Para cuatro dimensiones he leído que se puede hacer un producto vectorial de 3 vectores de la siguiente forma ... La definición de producto vectorial tetradimensional se suele hacer como producto de 3 vectores, de la siguiente forma:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Gracias por el aporte. Un detalle tiquismiquis por si te apetece corregirlo , en el símbolo del determinante los delimitadores son líneas verticales, no corchetes, por lo tanto se debería escribir:

$\vec{u}\times\vec{v}\times\vec{w}=\left|\begin{array}{cccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & \vec{l}\\<br /> u_{1} & u_{2} & u_{3} & u_{4}\\<br /> v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4}\\<br /> w_{1} & w_{2} & w_{3} & w_{4}<br /> \end{array}\right|$

Saludos.

[Weip]

Re: Calculo de volumen

Hola Fortuna.

Para cuatro dimensiones he leído que se puede hacer un producto vectorial de 3 vectores de la siguiente forma

La definición de producto vectorial tetradimensional se suele hacer como producto de 3 vectores, de la siguiente forma:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Las propiedades del producto vectorial de cuatro dimensiones se pueden leer en este enalce


1. El vector resultante es ortogonal a los tres vectores factor u, v, w y por lo tanto, al hiperplano, en el cual yacen los tres vectores.


2. Si se hace el producto punto con un cuarto vector, el valor absoluto del resultado es el volumen del paralelepípedo tetradimensional determinado por los cuatro vectores.


3. Una consecuencia del punto anterior es que se puede interpretar el producto vectorial de los tres vectores como un vector cuya magnitud es igual al hiperárea (o volumen) del paralelepípedo en tres dimensiones, determinado por los tres vectores u, v, w.


4. El producto vectorial $u\times v\times w$ es una función multilineal de las componentes de los factores y por lo tanto, por las propiedades de los determinantes, satisface la ley distributiva con respecto a la suma de escalares y la suma vectorial.

He incluso se deduce como hallar productos vectoriales de n-1 vectores en un espacion n-dimensional.

Saludos.

Con este tipo de cuestiones siempre tenemos el mismo problema: dependiendo de qué propiedades del producto vectorial consideremos fundamentales obtendremos una generalización u otra. Ciertamente el producto vectorial del que habla el artículo es curioso porque se deshace de la operación binaria típica y el resultado es efectivo. Una cosa interesante sería ver hasta que punto se puede generalizar este tipo de productos vectoriales a dimensiones superiores y a un número de vectores más variable pero resulta que dependiendo de la dimensión y del número de vectores que admita el producto vectorial n-ario a veces no existe o bien da lugar a productos degenerados. En el caso que nos ocupa, no existen productos vectoriales de tres vectores en cinco dimensiones en el sentido en el que habla el artículo. Cuando este tipo de producto existe, su módulo coincide con $\sqrt{\text{det G}}$, pero cuando no existe la vía más rápida de calcular volúmenes es con la matriz de Gram, que al final es el método más general (incluso deja su huella al describir el volumen en espacios curvados).