Otras carreras Exponencial de matrices

[danielandresbru]

Hola, quería probar la demostración de la siguiente propiedad de exponencial de matrices $\displaystyle \lim_{m-> \infty} \Big( \bold{I} + \frac 1m \bold{A} \Big)^m= e^{\bold{A}}$, es decir que también se cumple esta otra definición de exponencial para matrices. Quisiera saber si sabéis de algún sitio en donde pudiera encontrar dicha demostración. Muchas gracias de antemano

[pod]

Re: Exponencial de matrices

No tengo muy claro si ésto es algo que se deba demostrar o directamente es una definición (y por lo tanto no se demustra). Si fuera una propiedad a demostrar, ¿cómo defines la exponencial? ¿A través de la serie de Taylor?

[Alriga]

Re: Exponencial de matrices

... ¿cómo defines la exponencial? ¿A través de la serie de Taylor?

Que yo recuerde sí, la exponencial de una matriz "A" se define mediante la Serie:

$e^A \equiv \dst \sum_{k=0}^\infty \dfrac{A^k}{k!}$

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Exponencial de matrices

Hola, así a bote pronto diría que vale la misma demostración que se usa para demostrar la equivalencia de ambas definiciones de la exponencial real. La idea sería algo así como:

$$\displaystyle \lim_{m\to \infty} \Big(I + \frac Am \Big)^m=\lim_{m\to \infty} \sum_{k=0}^m \left(\binom mk \left(\frac Am \right)^k \right)=\lim_{m\to \infty} \sum_{k=0}^m \left( \frac{m!}{k!(m-k)!}\frac {A^k}{m^k} \right) =$$

$$=\lim_{m\to \infty} \sum_{k=0}^m \left( \frac{m\cdot (m-1) \cdot \cdots \cdot (m-k+1)}{m^k}\frac {A^k}{k!} \right)=\lim_{m\to \infty} \sum_{k=0}^m \left( \frac{m^k}{m^k}\frac {A^k}{k!} \right)=\sum_{k=0}^\infty \frac {A^k}{k!}$$

Saludos

PD: Dale una revisión ya que no la he verificado bien y he tirado de memoria con la demo que conocía para el caso de variable real. La única clave está en el binomio de newton, que en matrices hay que tener cuidado con la conmutativa pero aquí no debería de pasar nada por ser una de los dos sumandos la identidad.

[danielandresbru]

Re: Exponencial de matrices

Alriga, si yo tenía entendido que se definía por medio de la serie de Taylor, sino entonces la cuestión puede ser demostrar la serie de Taylor, usando la otra definición de exponencial

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Muchas gracias,ángel relativamente. Al menos yo veo correcta la demostración