Secundaria Hallar la relación entre dos módulos

[anthropus]

Buen día, quisiera que me ayuden a resolver este ejercicio por favor.
Dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ de igual módulo forman un angulo $\theta$ ¿En que relación están los módulos de los vectores $\vec{A}$+$\vec{B}$ y $\vec{A}$-$\vec{B}$ ?
Respuesta correcta: $tan$ $\theta$/$2$[FONT=Verdana]
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[Richard R Richard]

Re: Hallar la relación entre dos módulos

Hola anthropus Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer consejos para recibir ayuda de forma efectiva.

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes


se puede elegir un sistema de referencia ene que el vector A sea para lelo a las x de modo que

$\vec A+\vec B=(|A|+|B|\cos\theta,|B|\sin\theta)$

y

$\vec A-\vec B=(|A|-|B|\cos\theta,-|B|\sin\theta)$

entonces

$\dfrac{|\vec A+\vec B|}{|\vec A-\vec B|}$$=\dfrac{|(|A|+|B|\cos\theta,|B|\sin\theta)|}{|(|A|-|B|\cos\theta,-|B|\sin\theta)|}$

$=\sqrt{\dfrac{|A|^2+2|A||B|\cos\theta+|B|^2\cos^2\theta+|B|^2\sin^2\theta}{|A|^2-2|A||B|\cos\theta+|B|^2\cos^2\theta+|B|^2\sin^2\theta}}$

simplificando $|B|^2\cos^2\theta+|B|^2\sin^2\theta=|B|^2$

$=\sqrt{\dfrac{|A|^2+2|A||B|\cos\theta+|B|^2}{|A|^2-2|A||B|\cos\theta+|B|^2}}$

dividiendo numerador y denominador por $|A|^2+|B|^2$

$=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{2|A||B|}{|A|^2+|B|^2}\cos\theta}{1-\dfrac{2|A||B|}{|A|^2+|B|^2}\cos\theta}}$

cómo no puedo elegir libremente los valores de los módulos de A y B , pues $|A|=|B|$ entonces $\dfrac{2|A||B|}{|A|^2+|B|^2}=1$

reescribiendo

$=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}$

luego

$$\dfrac{|\vec A+\vec B|}{|\vec A-\vec B|}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}=\pm \tan\frac{\theta}{2}$$

Esa relación en una propiedad trigonométrica de los angulos mitades, puedes consultar esa seccion en https://forum.lawebdefisica.com/entr...onometr%C3%ADa

[pilimafiqui]

Re: Hallar la relación entre dos módulos

El módulo de A+B es la raíz cuadrada de : A^2 +B`^2 + 2 . A . B. = A^2 + A^2 + 2.A. B . cos del angulo= A^2 + A^2 + 2 . A^2 .cos del angulo =
2A^2. ( 1 + cos. del ángulo )
El módulo de A - B , siguiendo el mismo procedimiento da la raíz cuadrada de : 2 A ^2 ( 1 - cos del angulo)
Si divides la segunda ecuación entre la primera te da la fórmula de la tag del àngulo mitad

[JCB]

Re: Hallar la relación entre dos módulos

Gracias Richard.

Había llegado a $\sqrt{\dfrac{1+cos\theta}{1-cos\theta}}$, pero no sabía la relación que había con la tangente del ángulo mitad.

Saludos cordiales,
JCB.

[anthropus]

Re: Hallar la relación entre dos módulos

Gracias, yo también llegue hasta esa parte, pero desconocía esa propiedad.