Secundaria Problema de vectores

[anthropus]

Hola, les agradecería que me ayudaran con este problema por favor.
Datos:
$M$, es punto medio de $AB$.
$AC=CD=10u$
La resultante de los vectores $\vec{P}$ y $\vec{Q}$ tiene un valor de $26u$
Hallar el ángulo $MAD$
$AB=28u$

[JCB]

Re: Problema de vectores

Hola anthropus.

No sé si acabo de entender el enunciado: el ángulo $\widehat{MAD}$, es el ángulo que forman entre ellos, los segmentos $\overline{AM}$ y $\overline{AD}$.

Mediante trigonometría: $\widehat{MAD}=\arccos\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AD}}=\arccos\dfrac{14}{20}=45,57^{\circ}$.

Si esto no resuelve tus dudas, sigue preguntando.

Saludos cordiales,
JCB.

[anthropus]

Re: Problema de vectores

Hola anthropus.

No sé si acabo de entender el enunciado: el ángulo $\widehat{MAD}$, es el ángulo que forman entre ellos, los segmentos $\overline{AM}$ y $\overline{AD}$.

Mediante trigonometría: $\widehat{MAD}=\arccos\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AD}}=\arccos\dfrac{14}{20}=45,57^{\circ}$.

Si esto no resuelve tus dudas, sigue preguntando.

Saludos cordiales,
JCB.

Hola, el solucionario dice que sale 53°.

[JCB]

Re: Problema de vectores

Hola anthropus.

Entonces, ¿ podrías transcribir el enunciado completo ?. Creo que ayudaría a comprender el tema.

Saludos cordiales,
JCB.

[anthropus]

Re: Problema de vectores

Hola anthropus.

Entonces, ¿ podrías transcribir el enunciado completo ?. Creo que ayudaría a comprender el tema.

Saludos cordiales,
JCB.

Sí, claro.
En la figura mostrada, $M$ es punto medio de $AB$, $AC$$=CD=10u$. Si la resultante de los vectores $\vec{P}$ y $\vec{Q}$ tiene un valor de $26u$, determine la medida del ángulo $MAD$. $(AB=28u)$. Rpta: $53$.

[arivasm]

Re: Problema de vectores

Todo un clásico caer en la trampa de que en la figura AMD parece un ángulo recto, algo que no tiene garantía de serlo.

Hay una forma muy sencilla de llegar a la respuesta: estableciendo un sistema de coordenadas. Así, por ejemplo, tomando el origen en A y el eje X en la dirección AM, tenemos que las coordenadas de algunos puntos de interés son: $C(10\cos\theta,10\sin\theta)$, $D(20\cos\theta,20\sin\theta)$ y $M(14,0)$. He llamado $\theta$ al ángulo que se pide.

Por tanto, $\vec P=(14-10\cos\theta,-10\sin\theta)$ y $\vec Q=(14-20\cos\theta,-20\sin\theta)$.

A partir de aquí la cosa es muy simple: $\vec P+\vec Q=(28-30\cos\theta,-30\sin\theta)$. Es casi inmediato encontrar que como el módulo de este vector es 26 entonces $\cos\theta=0,6$ y de ahí que el ángulo es de 53,1º.

[JCB]

Re: Problema de vectores

Efectivamente, arivasm: he caído en la trampa .

Saludos cordiales a todos,
JCB.

[anthropus]

Re: Problema de vectores

Todo un clásico caer en la trampa de que en la figura AMD parece un ángulo recto, algo que no tiene garantía de serlo.

Hay una forma muy sencilla de llegar a la respuesta: estableciendo un sistema de coordenadas. Así, por ejemplo, tomando el origen en A y el eje X en la dirección AM, tenemos que las coordenadas de algunos puntos de interés son: $C(10\cos\theta,10\sin\theta)$, $D(20\cos\theta,20\sin\theta)$ y $M(14,0)$. He llamado $\theta$ al ángulo que se pide.

Por tanto, $\vec P=(14-10\cos\theta,-10\sin\theta)$ y $\vec Q=(14-20\cos\theta,-20\sin\theta)$.

A partir de aquí la cosa es muy simple: $\vec P+\vec Q=(28-30\cos\theta,-30\sin\theta)$. Es casi inmediato encontrar que como el módulo de este vector es 26 entonces $\cos\theta=0,6$ y de ahí que el ángulo es de 53,1º.

Gracias arisvasm y a todos por ayudarme .