1r ciclo Problema de Álgebra/Geometría

[BigMess]

Hola , ¿qué tal?

Me ha surgido una duda haciendo ejercicios sobre aplicaciones lineales, en concreto con la proyección.

(En $R^4$ como R-esp.vectorial)
Me dan un subespacio U y los dos vectores que lo generan (1 -1 0 0) y (0 0 -1 1). Sé que la suma directa $U+W=R^4$ y que la aplicación f le asocia a cada v en $R^4$ el único elemento u de U tal que v= u+w con w en W (es decir la proyeccion sobre U en la direccion de W)

Tengo que calcular la matriz de la aplicación f respecto a la base canónica de $R^4$ y a la base del subespacio U que he puesto arriba.

Y el caso es que no se me ocurre como sacar la matriz de una aplicación que no sea la ortogonal, además ni siquiera sé qué subespacio es W. Si alguien sabe cómo se hace agradecería que me echase una mano


Saludos

[BigMess]

Re: Problema de Álgebra/Geometría

Tampoco es que necesite la solución a ese ejercicio en concreto que igual es un poco rebuscado, más bien una idea sobre la "proyección sobre U en la direccion de W" (cómo sería la matriz de la aplicación, por ejemplo)

[pod]

Re: Problema de Álgebra/Geometría

Bueno, la base de U ya te la dan.

$$u_1 = (1, -1, 0, 0) \ , \qquad u_2 = (0, 0, -1, 1) \ .$$

Para caracterizar el subespacio W, necesitas dos vectores que formen una base de un subespacio de dimensión 2 (dim W = dim $\mathbb{R}^4$ - dim U), y que, junto con los dos anteriores, formen un sistema de generadores linealmente independiente. Se me ocurre probar, por ejemplo,

$$w_1 = (1,1,0,0) \ , \qquad w_2 = (0,0,1,1) \ .$$

Funcionará si la matriz con los cuatro vectores tiene determinante no-cero

$$\left(<br /> \begin{array}{llll}<br /> 1 & 0 & 1 & 0 \\<br /> -1 & 0 & 1 & 0 \\<br /> 0 & -1 & 0 & 1 \\<br /> 0 & 1 & 0 & 1<br /> \end{array}<br /> \right)\ .$$

En efecto, el determinante resulta ser 4.

Los vectores $\{u_1, u_2, w_1, w_2\}$ forman base (ortogonal) de $\mathbb{R}^4$, por lo que uno puede descomponer cualquier vector en componentes respecto esa base. ¿Cómo? Pues usando el producto escalar canónico. Si lo piensas, eso quiere decir que

$$f(v) = \frac{(v \cdot u_1)}{(u_1 \cdot u_1)} u_1 + \frac{(v \cdot u_2)}{(u_2 \cdot u_2)} u_2 \ .$$

Así que sólo te falta expandir las coordenadas y expresarlo en forma matricial.