1r ciclo Resolución de problema con 4 ecuaciones y 3 incognitas

[Josepe]

Hola

Tengo un sistema formado por cuatro ecuaciones y tres incógnitas que dependen de un parámetro llamado A:

–(a + 1) x + 3a z = – 3a2
3(a + 1) x + (2a2 – 2) y = 2a + 2
4(a2 – 1) y + a z = –a2 + 4a + 4
a y + 2z = 0

Me pide cual són los valores de A que haga que este sistema sea compatible determinado.

He leido, que este sistema o es un sistema incompatible o una de las ecuaciones es una combinación lineal de otra ecuación. He estado observando y no he encontrado ninguna de las ecuaciones sea combinación lineal de la otra.

Lo que he echo a partir de aquí es buscar el rango de la matriz. Por ejemplo, he selecionado las tres primeras ecuaciones:

–(a + 1) 0 3a
3(a + 1) 2a2 – 2 0
0 4(a2 – 1) a

Y el resultado me ha salido: 34a^4 + 34a^3 - 34a^2 - 34a

Lo he igualado a 0 y el parámetro A me ha salido los siguientes resultados: -1, 0 y 1.

Aquí viene mis preguntas:

- ¿Con estas ecuaciones y sin que A sea -1,0 o 1, ya puedo decir que la última ecuación es combinación lineal de alguna de las otras?

Muchas gracias!

[jotareiso]

Re: Resolución de problema con 4 ecuaciones y 3 incognitas

No. Lo que puedes decir es que una ecuación de la que has analizado es una combinación lineal de las otras dos. Ahora tienes que ver que con estos resultados y con la última ecuación es o no una combinación lineal, si no estoy equivocado.

Saludos

[balik]

Re: Resolución de problema con 4 ecuaciones y 3 incognitas

bueno segun tengo entendido. no puedes , ya que la unica forma de que esta sea una combinacion lineal de las otras ecuaciones es si al volver escalonada la matriz ampliada de este sistema ,la ultima fila se anula.

Asi que el hecho de que si la ultima es o no , una combinacion lineal debes de demostrarlo primero.

[[Beto]]

Re: Resolución de problema con 4 ecuaciones y 3 incognitas

Hola, una forma sencilla de analizar esto sería usando el método de Gauss-Jordan, de la siguiente manera:

La matriz aumentada del sistema de ecuaciones viene dada por:

$$\left(\begin{matrix}<br /> -(a + 1) &0& 3a &|& -3a^2 \\<br /> 3(a + 1) & 2a^2-2 &0&|& 2a + 2\\<br /> 0&4(a^2-1) & a &|& -a^2+4a+4\\<br /> 0&a & 2&|&0<br /> \end{matrix}\right)<br />$$

Factorizando algunos términos se tendría lo siguiente:

$$\left(\begin{matrix}<br /> -(a + 1) &0& 3a &|& -3a^2 \\<br /> 3(a + 1) & 2(a+1)(a-1) &0&|& 2(a+1)\\<br /> 0&4(a+1)(a-1) & a &|& 4(a+1)-a^2\\<br /> 0&a & 2&|&0<br /> \end{matrix}\right)<br />$$

Luego procedo a diagonalizar la matriz aumentada:

$$\begin{aligned}<br /> 3f_1+f_2\longrightarrow&\left(\begin{matrix}<br /> -(a + 1) &0& 3a &|& -3a^2 \\<br /> 0& 2(a+1)(a-1) &9a&|& 2(a+1)-9a^2\\<br /> 0&4(a+1)(a-1) & a &|& 4(a+1)-a^2\\<br /> 0&a & 2&|&0<br /> \end{matrix}\right)\\<br /> -2f_2+f_3\longrightarrow&\left(\begin{matrix}<br /> -(a + 1) &0& 3a &|& -3a^2 \\<br /> 0& 2(a+1)(a-1) &9a&|& 2(a+1)-9a^2\\<br /> 0&0 & -17a&|& 17a^2\\<br /> 0&a & 2&|&0<br /> \end{matrix}\right)\\<br /> \end{aligned}<br />$$

$-\frac{a}{2(a+1)(a-1)}f_2+f_4\longrightarrow$

$$<br /> \left(\begin{matrix}<br /> -(a + 1) &0& 3a &|& -3a^2 \\<br /> 0& 2(a+1)(a-1) &9a&|& 2(a+1)-9a^2\\<br /> 0&0 & -17a&|& 17a^2\\<br /> 0&0 & \frac{-9a^2+4(a+1)(a-1)}{2(a+1)(a-1)}&|&\frac{-34a(a+1)(a-1)-9a^2}{2(a+1)(a-1)}<br /> \end{matrix}\right)<br />$$

$\frac{-9a^2+4(a+1)(a-1)}{34a(a+1)(a-1)}f_3+f_4\longrightarrow$

$$<br /> \left(\begin{matrix}<br /> -(a + 1) &0& 3a &|& -3a^2 \\<br /> 0& 2(a+1)(a-1) &9a&|& 2(a+1)-9a^2\\<br /> 0&0 & -17a&|& 17a^2\\<br /> 0&0 & 0&|&\frac{a(a+1)(29a-38)}{2(a+1)(a-1)}<br /> \end{matrix}\right)<br />$$

Y si no me he equivocado en ningún cálculo para que el sistema sea compatible (tenga solución), el rango de la matriz aumentada tiene que ser igual al de la matriz de coeficientes, lo cual implica que:

$$\frac{a(a+1)(29a-38)}{2(a+1)(a-1)}=0$$

Y teniendo en cuanta que $a\neq \{1;-1\}$ se obtiene que $a=\{0;38/29\}$

Pero para que sea determinado (no tenga infinitas soluciones), el rango tiene que ser igual al número de incógnitas, es decir se tendría que cumplir además que $a\neq0$, por tanto para que el sistema sea compatible y determinado $a=38/29$

[pod]

Re: Resolución de problema con 4 ecuaciones y 3 incognitas

Es más sencillo simplemente imponer que el determinante de la matriz ampliada (4x4) sea cero. Si el determinante es cero, significa necesariamente que una de las lineas (ecuaciones) es combinación lineal de las otras tres. Es equivalente a lo que hizo neobefo, pero trabajando menos, lo cual no está mal

[Eichs]

Re: Resolución de problema con 4 ecuaciones y 3 incognitas

Hola.

Pero que el determinante sea cero solo nos asegura que el sistema sea compatible, que sea determinado, esto es que tenga única solución, no se asegura solo con esto, sinó se tiene que hacer algunas observaciones más que nos aseguren que el rango de la matriz sea tres. Asi que tenemos que hacer algunas cuentas más y el camino al final es casi equivalente al anterior ¿no?

Salduos.

[balik]

Re: Resolución de problema con 4 ecuaciones y 3 incognitas

recuerda que si el determinante es cero, es porque alguna de sus lineas es linealmente dependiente ( es una combinacion lineal de las otras) . Por eso es que Pod sugiere ese metodo. el cual segun creo es el metodo mas corto. ( aunque me parece mas elegante el de NEO) ( solo bromeo Pod)

[pod]

Re: Resolución de problema con 4 ecuaciones y 3 incognitas

recuerda que si el determinante es cero, es porque alguna de sus lineas es linealmente dependiente ( es una combinacion lineal de las otras) . Por eso es que Pod sugiere ese metodo. el cual segun creo es el metodo mas corto. ( aunque me parece mas elegante el de NEO) ( solo bromeo Pod)

De hecho, lo que dice Eichs es completamente correcto. Que el sistema sea compatible determinado significa que la matriz ampliada tiene el mismo rango que el número de incógnitas. En este caso, el rango debe ser tres; lo cual significa que el determinante total debe ser cero (que es lo que habíamos dicho hasta ahora) y además debe existir un menor de orden tres que no sea cero.

Es decir, yo había discutido la compatibilidad; pero si además quieres forzar que sea determinado debes también buscar un menor de orden 3 que no sea nulo.