Secundaria Problema de vectores

[KRiBaH]

Bueno, he estado 1 hora y 16 minutos para ser exactos para resolver este maldito ejercicio que no consigo resolver. Haber si me echais una mano.

Si û y ô son vectores ortogonales y de módulo 1, halla los posibles valores del parámetro real "a" para que los vectores û+aô y û-aô formen un ángulo de 60º.


He llegado asta la parte de plantear las ecuaciones y demás pero luego no se como relacionarlas.

Un saludo

[KRiBaH]

Re: Problema de vectores

unitarios --> ||u||=||o||=1 ; ortogonales--> u·o= 0

(û+aô)· (û-aô) = ||u||² - a² · ||o||² = 1- a²
||(û+aô)||²= (û+aô)· (û+aô) = ||u||²+ 2·a· u·o + a²· ||o||² = 1+a²
||(û-aô)||²= (û-aô)· (û-aô) = ||u||²- 2·a· u·o + a²· ||o||² = 1+a²

cos 60º= cos(û+aô y û-aô) = | (û+aô)· (û-aô)| / [ ||(û+aô)|| · ||(û-aô)||] = 1/2 --> |1-a²|/(1+a²)= 1/2

*Si a€[-1, 1] --> (1-a²)/(1+a²) =1/2 --> 2- 2a²=1+a² --> 3a²=1 --> a²=1/3
--> a= √3/3 o a= -√3/3

Ahí está por fin he dado con ella.

Un saludo,.

[pod]

Re: Problema de vectores

Bueno, he estado 1 hora y 16 minutos para ser exactos para resolver este maldito ejercicio que no consigo resolver. Haber si me echais una mano.

Si û y ô son vectores ortogonales y de módulo 1, halla los posibles valores del parámetro real "a" para que los vectores û+aô y û-aô formen un ángulo de 60º.


He llegado asta la parte de plantear las ecuaciones y demás pero luego no se como relacionarlas.

Un saludo

Llamaré a tus vectores

$$\vec a_\pm = \hat u \pm a \hat o\ .$$

La forma de definir el ángulo entre dos vectores es a través del producto escalar,

$$\vec a_+ \cdot \vec a_- = a_+ a_-\ \cos 60^o\ .$$

Los módulos de cada vector también se obtienen a través del producto escalar, por ejemplo

$$a_+ = \sqrt{ \vec a_+ \cdot a_+ } = \sqrt{ (\hat u \pm a \hat o)^2 }\ ,$$

el paréntesis se desarrolla como si lo de dentro fueran números normales, pero todos los productos serán escalares,

$$(\hat u + a \hat o)^2 = \hat u^2 + a^2 \hat o^2 + 2 \hat u \cdot \hat o = 1 + a^2\ ,$$

donde hemos utilizado la ortonormalidad de los vectores unitarios.

El producto escalar $\vec a_+ \cdot \vec a_-$ se evalúa siguiendo la misma técnica. Si juntas todos los ingredientes, te quedará una ecuación de segundo grado para $a$, que deberías saber resolver.

[KRiBaH]

Re: Problema de vectores

Llamaré a tus vectores

$$\vec a_\pm = \hat u \pm a \hat o\ .$$

La forma de definir el ángulo entre dos vectores es a través del producto escalar,

$$\vec a_+ \cdot \vec a_- = a_+ a_-\ \cos 60^o\ .$$

Los módulos de cada vector también se obtienen a través del producto escalar, por ejemplo

$$a_+ = \sqrt{ \vec a_+ \cdot a_+ } = \sqrt{ (\hat u \pm a \hat o)^2 }\ ,$$

el paréntesis se desarrolla como si lo de dentro fueran números normales, pero todos los productos serán escalares,

$$(\hat u + a \hat o)^2 = \hat u^2 + a^2 \hat o^2 + 2 \hat u \cdot \hat o = 1 + a^2\ ,$$

donde hemos utilizado la ortonormalidad de los vectores unitarios.

El producto escalar $\vec a_+ \cdot \vec a_-$ se evalúa siguiendo la misma técnica. Si juntas todos los ingredientes, te quedará una ecuación de segundo grado para $a$, que deberías saber resolver.

Gracias, ya lo tengo!

[pod]

Re: Problema de vectores

Ah, escribiste tu mensaje mientras yo estaba ultimando el mío Al final lo conseguiste en menos de dos horas, ¿no?

[KRiBaH]

Re: Problema de vectores

edito, fallo mio