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Hola!!! pongo aqui 4 teoremas que no tengo en apuntes y entran para mi examen a ver si alguien me los puede demostrar o los tiene por algun lado y me los puede pasar . Gracias!!!
Teorema 1 : Para una matriz cuadrada A ∈ Mn(K) las siguientes condiciones son equivalentes:
a) A es invertible
b) El rango por filas de A vale n
c) La forma normal de Hermite por filas de A es la identidad In.
d) A es un producto de matrices elementales de tamaño n.
Teorema 2 : En Kn, dado un conjunto de vectores-columna C = {w1 , . . . , wm} se considera la matriz A = [w1 , . . . , wm ] de tamaño n x m que en la columna j-esima lleva el vector wj Entonces:
1. C es linialmente independiente si y solo si rg(A)=n.
Por tanto todo conjunto linealmente independiente de Kn tiene a lo sumo n vectores.
2. C es un conjunto generador de Kn si y solo si rg(A)=n.
Por tanto todo conjunto generador de Kn tiene al menos n vectores.
PD: todas las w son vectores
Teorema 3: Sea f : V → V un endomorfismo con n = dim(V ), y sean λ1 , . . . , λm todos sus valores
propios, con multiplicidades algebraicas αi y geometricas di . Entonces f es diagonalizable si y solo si:
α1 + · · · + αm = n y cada di = αi
Preposicion 1 : Para un endomorfismo f de un espacio euclıdeo V de dimension finita son equivalentes:
a) f es una isometria.
(b) Para cualquier base ortonormal B de V , la matriz Mb(f ) es ortogonal.
(c) Para cierta base ortonormal B de V , la matriz Mb(f ) es ortogonal.
Teorema 1 : Para una matriz cuadrada A ∈ Mn(K) las siguientes condiciones son equivalentes:
a) A es invertible
b) El rango por filas de A vale n
c) La forma normal de Hermite por filas de A es la identidad In.
d) A es un producto de matrices elementales de tamaño n.
Teorema 2 : En Kn, dado un conjunto de vectores-columna C = {w1 , . . . , wm} se considera la matriz A = [w1 , . . . , wm ] de tamaño n x m que en la columna j-esima lleva el vector wj Entonces:
1. C es linialmente independiente si y solo si rg(A)=n.
Por tanto todo conjunto linealmente independiente de Kn tiene a lo sumo n vectores.
2. C es un conjunto generador de Kn si y solo si rg(A)=n.
Por tanto todo conjunto generador de Kn tiene al menos n vectores.
PD: todas las w son vectores
Teorema 3: Sea f : V → V un endomorfismo con n = dim(V ), y sean λ1 , . . . , λm todos sus valores
propios, con multiplicidades algebraicas αi y geometricas di . Entonces f es diagonalizable si y solo si:
α1 + · · · + αm = n y cada di = αi
Preposicion 1 : Para un endomorfismo f de un espacio euclıdeo V de dimension finita son equivalentes:
a) f es una isometria.
(b) Para cualquier base ortonormal B de V , la matriz Mb(f ) es ortogonal.
(c) Para cierta base ortonormal B de V , la matriz Mb(f ) es ortogonal.
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