1r ciclo Propiedad de determimantes

[[Beto]]

En este ejercicio, no tengo muchas ideas de como poder resolverlo, dice asi:

Sea $A\in M_n(\mathbb{C})$ una matriz cuadrada compleja. Sustituyendo cada elemento $z=x+iy$ de $A$ por una matriz real $\dst\left[\begin{matrix}x&y\\-y&x\end{matrix}\right]$, obtenemos una matriz nueva $B\in M_{2n}(\mathbb{R})$.

1. Demostrar que $\det(B)=|\det A|^2$ (utilizando transformaciones elementales)
2. Obtener el colorario siguiente $\dst\det\left[\begin{matrix}X&Y\\-Y&X\end{matrix}\right]=|\det(X+iY)|^2$, para cualquieres matrices cuadradas $X,Y$ del mismo orden.

Gracias de antemano.

[Dj_jara]

Re: Propiedad de determimantes

Para el 1, hazlo por inducción

n = 1 |z|= z = x + iy $<br /> \left| \begin{matrix}<br /> x&y\\<br /> -y&x<br /> \end{matrix}\right | = x^2+ y^2$
luego suponiendo que se cumple para n-1, mira que pasa con n, desarrollas por una fila/columna y ya tienes determinantes de orden n-1.

[Dj_jara]

Re: Propiedad de determimantes

Para el 2, mira que si X, Y son matrices cuadradas de orden n la componente ij de X+ iY es:

$$z = (X+iY)_{ij} = x_{ij} + i y_{ij}$$

y puedes sustituir (corolario anterior) cada componente por una matriz de la forma

$$\left(\begin{matrix}<br /> x_{ij}&y_{ij}\\<br /> -y_{ij}&x_{ij}<br /> \end{matrix}\right )$$

Ahora lo que te interesa es dejarlo como forma de
$\left(\begin{matrix}<br /> X&Y\\<br /> -Y&X<br /> \end{matrix}\right )$ para eso solo hay que cambiar filas y columnas pero ten en cuenta que todos los cambios que hagas a las columnas los tendras que hacer tambien a las filas (por cuestión de simetria), así que al final habras permutado un número par de filas con lo que el determinante queda invariante.

[[Beto]]

Re: Propiedad de determimantes

Bueno, siguiendo lo que dices, por inducción tendría algo más o menos asi:

Veo si la proposición es verdadera para $n=1$, en efecto se tiene que:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \det[z]&=x+iy\Longrightarrow |\det[z]|^2=x^2+y^2\\<br /> \det\left[\begin{matrix}x&y\\-y&x\end{matrix}\right]&=x^2+y^2<br /> \end{aligned}<br />$$

Luego si supongo que la proposición es verdadera para $n-1$, entonces:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> |\det M_{i1}|^2&=\det N_{i1}\\<br /> |z_{i1}|^2&=\det B_{i1}<br /> \end{aligned}<br />$$

Así, para $n$ tendría que, tomando la columna 1 se tendría:

$$\det M=\sum_{i=1}^nz_{i1}(-1)^{i+1}\det M_{i1}$$

Del mismo modo para la matriz real obtenida a partir de esta, y agrupando a los elementos del determinante en determinantes pequeños $B$ formados cada uno por los elementos de cada complejo del que proceden se tiene que, tomando la columna 1 igual que en la parte anterior:

$$\det N=\sum_{i=1}^n\det B_{i1}(-1)^{i+1}\det N_{i1}$$

Tomando el módulo a la expresión (3) a ambos lados y usando (3) y (4) , se obtiene que:

$$<br /> \det N=|\det M|^2<br />$$

Que es lo que se quería probar.

Se hace asi ¿verdad? ... avisenme si me he confundido o hecho algo mal.

[laura melissa]

Re: Propiedad de determimantes

Oye que pena contigo revise tu blog y quería pedirte un favor
-.....-
Este semestre estoy viendo álgebra lineal en la Universidad Nacional estudio matemáticas y necesito ayuda. Tengo parcial y ese punto exactamente iigual lo tengo que desarrollar y bueno obviamente entenderlo. Si me pudieras colaborar te agradecería mucho Gracias ... De antemano te agradezco la atencion prestada.

[polonio]

Re: Propiedad de determimantes

Oye que pena contigo revise tu blog y quería pedirte un favor
-.....-
Este semestre estoy viendo álgebra lineal en la Universidad Nacional estudio matemáticas y necesito ayuda. Tengo parcial y ese punto exactamente iigual lo tengo que desarrollar y bueno obviamente entenderlo. Si me pudieras colaborar te agradecería mucho Gracias ... De antemano te agradezco la atencion prestada.

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