Secundaria Ayuda con problema trigonométrico

[eduardo2384]

Hola amigos , ayudenme a rsolver éste problema:

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Hallar $\tan\alpha$ de la figura:

http://img17.imageshack.us/img17/4071/dibujoitb.png

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Gracias por todo

[pod]

Re: Ayuda con problema trigonométrico

Intenta aplicar el teorema del coseno. Puedes aplicarlo hasta seis veces: tres para cada uno de los triangulos dibujados, otra vez para el triangulo total (el que tiene ángulo $3\alpha+\alpha+\alpha$), y dos veces más para dos triangulos dobles (el de ángulo $3\alpha+\alpha$ y el de ángulo $\alpha+\alpha$).

Tendrás hasta seis ecuaciones para cinco incógnitas ($\alpha$ y los cuatro segmentos).

[eduardo2384]

Ayuda con problema trigonométrico

Encontre la solucion con ayuda de una propiedad de la cuaterna armónica:




Como tenemos una bisectriz según el dibujo del problema (para $\alpha$ y $\alpha$) entonces comprobé la relacion que supuestamente debía existir entre los segmentos dados como datos.

6.4=2.12

eso quiere decir q el problema quedará algo así:



De donde:

$3\alpha+3\alpha+\alpha+\alpha=180$º

$\alpha=22$º30'

Por lo que $\tan 22$º30' = $\sqrt{2}-1$ (ésto es fácil calcular con el triangulo rectángulo de 45º y 45º).

Lo que aun me deja con cierta incertidumbre es: ¿como se podría demostrar esa propiedad de la cuaterna armónica?... Si lo saben , publiquenla porfavor....gracias por todo