1r ciclo Encontrar base y dimensión

[[Beto]]

Hola, he estado repasando un poco de Algebra Lineal y hay algunos ejercicios en los cuales tengo algo de dificultades, este es uno de ellos:

Demostrar que:

$$A=\left\{f\left/\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\dd t=0,\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos t\dd t=0,\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin t\dd t=0\right\}\right.$$

es un subespacio de $C[-\pi,\pi]$. Encontrar una base y su dimensión.

No tengo claro como resolverlo, pero por ahí se me ha ocurrido que una base podría ser [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , ya que forman un sistema ortogonal del espacio funcional euclideano con producto interno

$$\langle f,g\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\dd x$$

¿Alguna ayuda o sugerencia?

[eljose]

Re: Encontrar base y dimensión

si recuerdas la formula de Euler la base (mas comodamente expresada ) es

$exp(inx)/2\pi$ donde 'n' es cualquier numero entero

basicamente tu 'subespacio' es aquel cuyas coordendas de Fourier en -pi, a pi son 0

en cuanto a la dimension ?? pues infinita claro, ya que podemos buscar un conjutno infinito de funciones que cumplan con las coordenadas que tu dices con tal de que no necesitemos continuidad o diferenciabilidad

[Dj_jara]

Re: Encontrar base y dimensión

No tengo claro como resolverlo, pero por ahí se me ha ocurrido que una base podría ser [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ten en cuenta que si coges f(t) y haces un desarrollo de fourier entre -pi y pi, la condición que te estan dando, es lo mismo que darte a_0, a_1, b_1, respecto a la base que has puesto el 1, el cos(x) y el sin(x) sobran (condición 1, 2, 3 de tu subespacio respectivamente, no es muy normal que el producto escalar de una función por si misma de 0 ), Respecto a lo de demostrar que es subespacio (supongo que vectorial), pues coge cada f(t) que diría que no hay ningún problema en suponer que pertenece a C[-pi, pi] y demuestra las leyes del espacio vectorial se comportan bien en ese conjunto.

[[Beto]]

Re: Encontrar base y dimensión

Ten en cuenta que si coges f(t) y haces un desarrollo de fourier entre -pi y pi, la condición que te estan dando, es lo mismo que darte a_0, a_1, b_1,

Gracias, no me había percatado del detalle de que eran los primeros coeficientes de un desarrollo en serie de fourier de la función, aunque se me hacian muy familiares esas expresiones

respecto a la base que has puesto el 1, el cos(x) y el sin(x) sobran (condición 1, 2, 3 de tu subespacio respectivamente, no es muy normal que el producto escalar de una función por si misma de 0 ),

Cierto