1r ciclo Transformación lineal

[[Beto]]

Hola, me piden probar que lo siguiente, si $T:C[a,b]\rightarrow C[a,b]$ donde $T(f)=H$, significa que

$$H(x)=\int_a^b f(t)\cos (x-t)\dd t$$

es una transformación lineal, para $a\leq x\leq b$,de serlo encontrar su núcleo imagen y dimensión, lo que he hecho es lo siguiente:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \int_a^b f(t)\cos (x-t)\dd t&=\int_a^bf(t)[\cos x\cos t+\sin x\sin t]\dd t\\<br /> \Longrightarrow H(x)&=\cos x\int_a^bf(t)\cos t\dd t+\sin x\int_a^bf(t)\sin t\dd t\\<br /> \end{aligned}<br />$$

y luego para encontrar $\ker H$, lo que hago es $H(x)=0$, entonces:

$$\cos x\int_a^bf(t)\cos t\dd t=-\sin x\int_a^bf(t)\sin t\dd t$$

y obtengo algo como

$$x=\arctan\left\{-\frac{\int_a^bf(t)\cos t\dd t}{\int_a^bf(t)\sin t\dd t}\right\}$$

entonces la duda que tengo, es si ese es el núcleo de la transformación lineal que me dan, y además si ¿su dimensión es infinita? y ¿cuál sería su imágen?

Gracias de antemano.

[alespa07]

Re: Transformación lineal

Hola, me piden probar que lo siguiente, si $T:C[a,b]\rightarrow C[a,b]$ donde $T(f)=H$, significa que

$$H(x)=\int_a^b f(t)\cos (x-t)\dd t$$

es una transformación lineal, para $a\leq x\leq b$,de serlo encontrar su núcleo imagen y dimensión, lo que he hecho es lo siguiente:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \int_a^b f(t)\cos (x-t)\dd t&=\int_a^bf(t)[\cos x\cos t+\sin x\sin t]\dd t\\<br /> \Longrightarrow H(x)&=\cos x\int_a^bf(t)\cos t\dd t+\sin x\int_a^bf(t)\sin t\dd t\\<br /> \end{aligned}<br />$$

y luego para encontrar $\ker H$, lo que hago es $H(x)=0$, entonces:

$$\cos x\int_a^bf(t)\cos t\dd t=-\sin x\int_a^bf(t)\sin t\dd t$$

y obtengo algo como

$$x=\arctan\left\{-\frac{\int_a^bf(t)\cos t\dd t}{\int_a^bf(t)\sin t\dd t}\right\}$$

entonces la duda que tengo, es si ese es el núcleo de la transformación lineal que me dan, y además si ¿su dimensión es infinita? y ¿cuál sería su imágen?

Gracias de antemano.

Hola , piensa que aquí tus vectores son las funciones $f \in C[a,b]$ entonces tu núcleo está formado por las funciones que cumplen que $T(f)=0$. Es decir que debes encontrar las funciones y no las variables (x en este caso ) que cumplen lo anterior. Además piensa que el espacio vectorial de las funciones continuas en un intervalo es de dimesión infinita. Ahora intentaré ver si consigo resolvero.
Saludos.

[[Beto]]

Re: Transformación lineal

Hola , piensa que aquí tus vectores son las funciones $f \in C[a,b]$ entonces tu núcleo está formado por las funciones que cumplen que $T(f)=0$. Es decir que debes encontrar las funciones y no las variables (x en este caso ) que cumplen lo anterior. Además piensa que el espacio vectorial de las funciones continuas en un intervalo es de dimesión infinita. Ahora intentaré ver si consigo resolvero.
Saludos.

Si, agradecería me des una mano con el ejercicio, que no se me ocurren muchas deas para resolverlo.

[alespa07]

Re: Transformación lineal

Si, agradecería me des una mano con el ejercicio, que no se me ocurren muchas deas para resolverlo.

Wenas. Anoche llegué a la siguiente conclusión pero no sabía como seguir. En efecto la igualdad a la que llegas desarrollando el coseno ha de anularse $\forall x \in [a,b]$ entonces tienes que llegar a la conclusión de que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero intenté, en vano, explicitar $f$ lo que, de hecho es imposible. Pero no es necesario para conocer el núcleo ni su dimensión. Esta mañana le pregunté a un compañero matemático y su respuesta me parece idónea (claro que cuando me lo dijo pensé: ¿cómo no se me pudo ocurrrir antes?... Estas cosas pasan ).

En efecto, basta darse cuenta de que $<f(x),g(x)>=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$ es un producto interior (produco escalar) y el núcleo de $T$ no es más que el subespacio

generado por las funciones ortogonales del seno y del coseno ${\cal L}\{sin(x),cos(x)\}$. Entonces, al ser la codimensión de dicho subespacio igual a dos, tendrás que :

$Ker(T)={\cal L}\{sin(x),cos(x)\}\longrightarrow{dim(Ker(T))=\infty}$

Espero que te sirva de ayuda.
Saludos.

[[Beto]]

Re: Transformación lineal

generado por las funciones ortogonales del seno y del coseno ${\cal L}\{sin(x),cos(x)\}$. Entonces, al ser la codimensión de dicho subespacio igual a dos, tendrás que :

$Ker(T)={\cal L}\{sin(x),cos(x)\}\longrightarrow{dim(Ker(T))=\infty}$

En ese caso ¿ no sería el núcleo de dimensión dos?, ya que la base del núcleo estaría formada por únicamente dos elementos.

[Dj_jara]

Re: Transformación lineal

En ese caso ¿ no sería el núcleo de dimensión dos?, ya que la base del núcleo estaría formada por únicamente dos elementos.

por L{} se esta refiriendo a las funciones ortogonales a sen(x) y cos(x), es decir sin(nx), cos(nx) (n!=1) y todas sus combinaciones lineales posibles

[[Beto]]

Re: Transformación lineal

por L{} se esta refiriendo a las funciones ortogonales a sen(x) y cos(x), es decir sin(nx), cos(nx) (n!=1) y todas sus combinaciones lineales posibles

Ah listo.