vectores unitarios

[Dj_jara]

Bueno una pregunta sencilla (no se porque siempre añado este adejetivo xD), cual seria el metodo general para calcular los vectores unitarios poniendolos como referencia los cartesianos $\hat i \textrm{ },\hat j \textrm{ }, \hat k$

Por ejemplo en polares en el plano habria $\hat e_r \textrm{ }, \hat e_\theta$

$\hat e_r = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat i + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \hat j = \cos{\theta} \hat i + \sin{\theta} \hat j$ y como $\hat e_r \cdot \hat e_\theta = 0$ asi a ojo se puede sacar $e_\theta = -\sin{\theta} \hat i + \cos{\theta}\hat j$ aunque tambien se podria sacar a ojo el mismo multiplicado por -1, pero el correcto es ese. Pero al aplicar esto para polares esfericas se obtiene $\hat e_r$ como antes, pero ahora hay dos angulos, y no se como hallar $\hat e_\phi \textrm{ y } \hat e_\theta$

Gracias

[pod]

Re: vectores unitarios

De la matriz de cambio de base, por columnas. Pero si quieres tener vectores unitarios, debe de ser un cambio de base ortogonal, o sea, una rotación (en 2-d las rotaciones son triviales, pero en mas dimensiones no).

El signo se elige de forma que el vector apunte en la dirección de la coordenada creciente. Por lo tanto, la elección correcta debería ser la contraria a la que has puesto, no?

EDIT: no, tienes razón me imaginaba los ejes al revés, jeje

[[Beto]]

Re: vectores unitarios

Hola para complementar un poco:

Supongamos que se tiene el vector $\vec r=x\hat i+y\hat j+z\hat k$ al cual lo podemos expresar de la forma $\vec r=\vec r(u_1,u_2,u_3)$, donde:

$u_1=u_1(x,y,z)$
$u_2=u_2(x,y,z)$
$u_3=u_3(x,y,z)$

Se tiene que el vector tangente a cualquiera de las lineas $u_i$ estará dado por $\frac{\partial r}{\partial u_i}$. Entonces el vector unitario tangente en dirección y sentido a este vector tangente es $\frac{\partial \vec r}{\partial u_i}\left/\left|\frac{\partial\vec r}{\partial u_i}\right|\right.$.

De la expresión anterior se llama factor de escala a $h_i=\frac{\partial \vec r}{\partial u_i}$, en este sentido pudes encontrar los vectores unitarios en otro sistema coordenado en función del sistema cartesiano de la siguiente manera:

$\hat e_i=\frac{1}{h_i}\frac{\partial\vec r }{\partial u_i}$

Espero te sirva de algo

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EDITO: Tienes que tener cuidado en como se definan las coordenadas esfericas o cilindricas pues segun recuerdo las definiciones varian un poco en la direccion de los angulos que se toman segun la notacion americana o rusa.

[Dj_jara]

Re: vectores unitarios

Espero te sirva de algo

Si que me sirve

EDITO: Tienes que tener cuidado en como se definan las coordenadas esfericas o cilindricas pues segun recuerdo las definiciones varian un poco en la direccion de los angulos que se toman segun la notacion americana o rusa.

Acabo de mirar en la wikipedia como se lo de las esfericas http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esf%C3%A9ricas
yo uso (bueno la que me han enseñado) es la no-norteamericana, aunque realmente tampoco es tanta la diferencia xDD

[carroza]

Re: vectores unitarios

Hola.

Esta pregunta tiene una relación directa con la teoria de grupos. De hecho, las transformaciones que pasan de tres vectores ortonormales $i, j, k$
(dejame que los llame$v_1, v_2, v_3$)
a otros tres vectores ortonormales $u_1, u_2, u_3$
puedes ponerlas en forma matricial como
$u_i=\sum_ja_{ij}v_j$.

El conjunto de las matrices 3x3 $a_{ij}$ forman un grupo, que es el grupo
de las matrices ortogonales en tres dimensiones $O(3)$.

Si además quieres que se cumpla que $u_1, u_2, u_3$ formen un triedro directo (o sea que $u_1 \times u_2 = u_3$), entonces debe cumplirse que el determinante de A sea uno, y de quedas con el grupo de especial de las matrices ortogonales $SO(3)$. Este grupo es isomorfo al de las rotaciones en tres dimensiones.

La relación de la teoría de grupos con la física es de lo más fascinante que hay. Espero que la disfrutes en su momento, si no lo has hecho ya.

[Dramey]

Re: vectores unitarios

Voy a hacer un poco de desenterrador: estaba buscando en google como poner un gorrito a una letra en latex, ha salido este hilo, que me ha sido muy útil