circulos

[alefriz]

Tenemos dos rectas que forman un ángulo $\alpha$ y se cortan en el punto O.
A una distancia $a$ desde el punto O en una de las rectas es tangente una circunferencia.
A una distancia $b$ desde el punto O en la otra recta es tangente una segunda circunferencia.
Ambas circunferencias son iguales.

Calcular el radio $R$ de las circunferencias para que también sean tangentes entre sí.

[[Beto]]

Re: circulos

Si es que realizas un dibujito del problema que mencionas encontrarás que $a=b$ Luego de esto uniendo uno de los centros de la circunferencia el punto "o" y uno de los puntos de tangencia obtienes un triángulo rectángulo en donde puedes ver que:

$\displaystyle \tan\frac{\alpha}{4}=\frac{R}{a}$ entonces $R=\frac{\tan\frac{\alpha}{4}}{a}$

Saludos.

[Dj_jara]

Re: circulos

[M_Odes]

Re: circulos

¿Esa Es la Figura general?; Es decir, ¿asumo que una distancia es mayor que la otra? el problema no tiene mas datos

[[Beto]]

Re: circulos

Segun el enunciado yo he pensado en el siguiente gráfico (el angulo sombreado es $\alpha/4$):

[Dj_jara]

Re: circulos

El dibujo que puse antes esta mal, cosas de hacerlo por la noche xD, me centre en marcar que a no tiene porque ser igual a b

Lo que pasa en tu dibujo (N30F3B0) es que es un caso particular de los infinitos que hay xD (edit: infinitos sin especificas a y b xD)

Voy a intentar poner una imagen general del problema, si te fijas en mi dibujo tambien cumple el enunciado y a!= b

[alefriz]

Re: circulos

Si es que realizas un dibujito del problema que mencionas encontrarás que $a=b$ Luego de esto uniendo uno de los centros de la circunferencia el punto "o" y uno de los puntos de tangencia obtienes un triángulo rectángulo en donde puedes ver que:

$\displaystyle \tan\frac{\alpha}{4}=\frac{R}{a}$ entonces $R=\frac{\tan\frac{\alpha}{4}}{a}$

Saludos.

Hola N30F3B0, esa es la solución a un caso muy particular, es decir, cuando a = b.

En general, es calcular $R$ cuando $a$ es distinto de $b$

[[Beto]]

Re: circulos

He estado intentando el caso general pero aun no me sale nada , espero que luego se me ocurra una forma de resolvero.

[pod]

Re: circulos

Bueno voy a intentar esbozar la solución... He hecho un gráfico pero es un poco cutre



Tengo la libertad de elegir los ejes. Por comodidad, lo hago de forma que la primera recta es paralela al eje X, tal y como se ve en el dibujo. Por lo tanto, el centro de la primera circunferencia está en $(a, R_a)$.

El punto B, situado en la segunda recta y a una distancia b del origen se encuentra en $(b \cos\alpha, b \sin\alpha)$. El vector que va de ese punto al centro de la segunda circunferencia debe ser perpendicular y tener módulo $R_b$; a saber, $(R_b \sin\alpha,- R_b\cos\alpha)$. Por lo tanto, las coordenadas del centro de la segunda circunferencia són:

$\big(b \cos\alpha + R_b \sin\alpha, \ b \sin\alpha - R_b \cos\alpha \big) \ .$

Con estos datos, podemos escribir las ecuaciones de las dos circunferencias:

$(x - a)^2 + (y-R_a)^2 = R_a^2 \ ,$

$\Big(x - b \cos\alpha - R_b \sin\alpha \Big)^2 + \Big( y - b \sin\alpha + R_b \cos\alpha \Big)^2 = R_b^2 \ .$

Tenemos un sistema de ecuaciones. Tenemos que asegurarnos de que tenemos una y solo una solucion para $(x, y)$.

A partir de aquí todo es mates puras. Se trataría de aislar de una ecuación, por ejemplo $x$, y substituir en la otra; tendríamos una ecuación para $y$ (bastante complicada...) de la que tendríamos que asegurarnos que solo hay una solución. Esto seguramente nos daría una relación entre los radios. Luego hay que hacer lo mismo para la otra variable, de lo que nos daría otra relación entre los radios.

[alefriz]

Re: circulos

Bueno voy a intentar esbozar la solución... He hecho un gráfico pero es un poco cutre

[ATTACH]24[/ATTACH]

Tengo la libertad de elegir los ejes. Por comodidad, lo hago de forma que la primera recta es paralela al eje X, tal y como se ve en el dibujo. Por lo tanto, el centro de la primera circunferencia está en $(a, R)$.

El punto B, situado en la segunda recta y a una distancia b del origen se encuentra en $(b \cos\alpha, b \sin\alpha)$. El vector que va de ese punto al centro de la segunda circunferencia debe ser perpendicular y tener módulo $R$; a saber, $(R \sin\alpha,- R\cos\alpha)$. Por lo tanto, las coordenadas del centro de la segunda circunferencia són:
$\big(b \cos\alpha + R \sin\alpha, \ b \sin\alpha - R \cos\alpha \big)$

Con tener las coordenadas de los dos centros de las circunferencias sería suficiente (circunferencias iguales de radio $R$), ya que la distancia entre ambos centros es $2R$, pues son tangentes entre sí.

Sólo habría que calcular el módulo del vector $\vec{O_1O_2}$ y tendríamos una ecuación de 2º grado en $R$ algo complicadilla y obligar a que sólo exista una única solución, es decir, obligar a que el discriminante de dicha ecuación sea nulo.

Gracias a todos por vuestras aportaciones.

[pod]

Re: circulos

Ah! El mismo radio... bueno eso simplificará algo las cosas

Sin embargo, tenemos que seguir escribiendo las dos ecuaciones de las circunferencias ya que tenemos que asegurarnos que sólo hay un corte entre las dos circunferencias.

Quizá las ecuaciones se simplificarían algo si situamos los ejes de forma que uno de los centros están sobre el eje OX, en vez de la elección que hice.

[[Beto]]

Re: circulos

Mmmm ... bueno si ese metodo tambien vale, aunque yo queria hacerlo usando mas la geometria euclidiana que la analítica para que sea un poco mas entretenido jeje

[pod]

Re: circulos

Mmmm ... bueno si ese metodo tambien vale, aunque yo queria hacerlo usando mas la geometria euclidiana que la analítica para que sea un poco mas entretenido jeje

Hemos utilizado la métrica euclídea para definir la ecuación ce las circunferencias...