1r ciclo Espacio Vectorial

[Becquerel]

Hola a todos, tengo una dudilla sobre álgebra... me da la impresión de que puede ser fácil de contestar, pero ando un poco confundido respecto a esto y mi profesor se explica un poco mal.

Bueno, allá va: ¿Una matriz es un espacio vectorial?

Yo sé que las soluciones de un sistema homogeneo son un EV... pero una matriz?

Muchas gracias a todos, un saludo

[arreldepi]

Re: Espacio Vectorial

Hola a todos, tengo una dudilla sobre álgebra... me da la impresión de que puede ser fácil de contestar, pero ando un poco confundido respecto a esto y mi profesor se explica un poco mal.

Bueno, allá va: ¿Una matriz es un espacio vectorial?

Yo sé que las soluciones de un sistema homogeneo son un EV... pero una matriz?

Muchas gracias a todos, un saludo

Hola,

Como corrige alespa07 en un mensaje posterior, lo sería en el caso que la matriz fuese de la dimensión expuesta a continuación y sus elementos perteneciesen al conjunto de los reales.

Supón que tienes una matríz $M_{m\times{n}}$:

$\begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix} \;\;\; a_j^i \in \mathbb{R}$

1. Se puede sumar:

$\begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}{b_1^1}&{\ldots}&{b_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{b_1^m}&{\ldots}&{b_n^m}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{a_1^1+b_1^1}&{\ldots}&{a_n^1+b_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m+b_1^m}&{\ldots}&{a_n^m+b_n^m}\end{pmatrix}$

- La suma es asociativa:

$(M_{m\times{n}} + M'_{m\times{n}})+M''_{m\times{n}} = M_{m\times{n}} + (M'_{m\times{n}}+M''_{m\times{n}}) = M_{m\times{n}} + M'_{m\times{n}}+M''_{m\times{n}}$

- Existe elemento neutro:

$\begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}{0}&{\ldots}&{0}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{0}&{\ldots}&{0}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix}$

- Es conmutativa:

$M_{m\times{n}} + M'_{m\times{n}} = M'_{m\times{n}} + M_{m\times{n}}$

- Tiene elemento opuesto:

$\begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}<br /> 1 & 0 & \cdots & 0 \\<br /> 0 & 1 & \cdots & 0 \\<br /> \vdots & \vdots & {} & \vdots \\<br /> 0 & 0 & \cdots & 1 \\\end{pmatrix}$

2. Puede multiplicarse por un escalar:

$\lambda\cdot \begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\lambda a_1^1}&{\ldots}&{\lambda a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{\lambda a_1^m}&{\ldots}&{\lambda a_n^m}\end{pmatrix} \;\;\; \lambda \in{\mathbb{R}}$

Esta multiplicación tiene las siguientes propiedades:


- Con la suma:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

- Con la suma de escalares:

$(\lambda + \lambda ')\cdot \begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix} + \lambda ' \begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix}$

- Con el producto de escalares:

$(\lambda\cdot\lambda ') \begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix} = \lambda \left[{\lambda ' \begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix}}\right]$

- Existe un escalar unidad tal que:

$1\cdot \begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{a_1^1}&{\ldots}&{a_n^1}\\{\vdots}&{}&{\vdots}\\{a_1^m}&{\ldots}&{a_n^m}\end{pmatrix}$

Por tanto, todo esto implica que:

$M_{m\times{n}} (\mathbb{R})$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$

Un saludo!

[Becquerel]

Re: Espacio Vectorial

Gracias, eso pensaba... pero mis apuntes estaban un poco confusos.

Por cierto arreldepi, me parece que estudias lo mismo que yo y en el mismo sitio jaja lo que no se es si vas a mi clase o no

[arreldepi]

Re: Espacio Vectorial

Gracias, eso pensaba... pero mis apuntes estaban un poco confusos.

Por cierto arreldepi, me parece que estudias lo mismo que yo y en el mismo sitio jaja lo que no se es si vas a mi clase o no

UB, M1???

[Becquerel]

Re: Espacio Vectorial

Ub m2 xd

[arreldepi]

Re: Espacio Vectorial

Ub m2 xd

Vaya, el profesor que nosotros tenemos de álgebra no está nada mal, además va soltando bromillas de cuando en cuando xD.

Hay un usuario, idontknow, que es del grupo M2.

Un saludo!

[alespa07]

Re: Espacio Vectorial

Hola a los dos. Siento discrepar con vosotros pero me parece que hay un claro error de concepto en lo que habeis escrito. Una matriz no es un espacio vectorial bajo nongún concepto. Una matriz es un objeto matemático que puede ser un elemento de un espacio vectorial. La matriz sería un elemento del contenido y el espacio vctorial sería el contenedor para decirlo de alguna manera. Hay muchos ejemplos de espacio vectoriales cuyos vectores son matrices pero también hay muchos conjuntos cuyos elementos son matrices y no forman un espacio vectorial. Por ejemplo, el conjunto de las matrices 2,3 y 2,4 no es un espacio vectorial ya que no se puede siquiera definir la operacón de suma. Otro ejemplo sería el conjunto de las matrices cuadradas de orden n cuyos elementos son estrictamente positivos que tampoco es un espacio vectorial por no contener elemento neutro para la suma. En fin, creo que si la pregunta hubiera sido debidamente expuesta la respuesta de arreldepi es correcta, y esa pregunta es:

¿Es el conjunto de las matrices $m\times n$ de coeficientes reales un espacio vectorial?

Pero insisto,UNA MATRIZ NO ES UN ESPACIO VECTORIAL, EN TODO CASO PUEDE SER UN ELEMENTO ( VETOR) DE UN ESPACIO VECTORIAL.


Saludos.

P.D: Yo también soy de la UB jeje.

[arreldepi]

Re: Espacio Vectorial

Hola a los dos. Siento discrepar con vosotros pero me parece que hay un claro error de concepto en lo que habeis escrito. Una matriz no es un espacio vectorial bajo nongún concepto. Una matriz es un objeto matemático que puede ser un elemento de un espacio vectorial. La matriz sería un elemento del contenido y el espacio vctorial sería el contenedor para decirlo de alguna manera. Hay muchos ejemplos de espacio vectoriales cuyos vectores son matrices pero también hay muchos conjuntos cuyos elementos son matrices y no forman un espacio vectorial. Por ejemplo, el conjunto de las matrices 2,3 y 2,4 no es un espacio vectorial ya que no se puede siquiera definir la operacón de suma. Otro ejemplo sería el conjunto de las matrices cuadradas de orden n cuyos elementos son estrictamente positivos que tampoco es un espacio vectorial por no contener elemento neutro para la suma. En fin, creo que si la pregunta hubiera sido debidamente expuesta la respuesta de arreldepi es correcta, y esa pregunta es:

¿Es el conjunto de las matrices $m\times n$ de coeficientes reales un espacio vectorial?

Pero insisto,UNA MATRIZ NO ES UN ESPACIO VECTORIAL, EN TODO CASO PUEDE SER UN ELEMENTO ( VETOR) DE UN ESPACIO VECTORIAL.


Saludos.

P.D: Yo también soy de la UB jeje.

Hola, muchas gracias por la corrección, no se me había ocurrido eso que has explicado tú.

Un saludo!

[idontknow]

Re: Espacio Vectorial

¿Cómo que se explica un poco mal? ¿UN POCO? ¿sólo? ¡Pero si no explica! ¡Se pasa toda una hora dandole la vuelta a la tortilla sin decir nada! Es como si no dijera nada pero estubiese hablando aunque ni eso porque habla más flojillo ¬¬ Qué horror de clases...

[pod]

Re: Espacio Vectorial

Uhm, ¿Estalella?

[arreldepi]

Re: Espacio Vectorial

Uhm, ¿Estalella?

E és un K-e.v.

Sí, Estalella xD.

[pod]

Re: Espacio Vectorial

Ese tío debe tener ya una edad... yo lo tuve un día de sustituto el siglo pasado


Por cierto, para que no sea todo fuera de tema: el hecho de que las matrices constituyen espacios vectoriales es de suma importancia en Física; teoría de grupos, de representaciones, etc.

[Becquerel]

Re: Espacio Vectorial

¿Cómo que se explica un poco mal? ¿UN POCO? ¿sólo? ¡Pero si no explica! ¡Se pasa toda una hora dandole la vuelta a la tortilla sin decir nada! Es como si no dijera nada pero estubiese hablando aunque ni eso porque habla más flojillo ¬¬ Qué horror de clases...

No, el que nosotros tenemos es Ferran Sala.

Un hombre mayor con unas gafas enormes