1r ciclo Una ayudita con un tronco de cono...

[idontknow]

Buenas.

Llevo ya un ratillo hecho un lío con una duda de un área. Veréis, para un ejercicio de presiones necesitaba calcular el total de fuerzas en el eje z que se ejercen sobre las paredes de un tronco de cono. Después de haber cosiderado el trozo de fuerza que quería con trigo me disponía a calcular el sumatorio de fuerzas. Sé que dF=PdS y que P = pgh. Ahora bien lo que me hago lío es con dS. Y es que si fuese un cilindro dS sería r dh pero claro en un cono no sólo varía la altura lateral (generatriz) sinó que además varía el radio... ¿Esto como se haría? ¿Con doble integración o algo así? Es que de eso no sé...

[eljose]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

yo juraria que como quieres integrar sobre un cono su parametrizacion seria

$(x/a)^{2}+(y/b)^{2}=(z/c)^{2}$

y despejando z como funcion de x e y $z= f(x,y)$ lo obtendriamos todo

el cuadrado del elemento de area de una superficie es

$(dA)^{2}=||gra(z(x,y)||$

deberas de calcular el gradiente en coordenadas cilindricas , en ese caso para un cono la altura 'z' depende del radio como $z=|r|$ y por la simetria del cono solo te van a aprecer integrales sobre 'r' y 'z' ya que como la densidad es homogenea tu mismo has probado que $P=\rho g.h(z)$

[Afisionado]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Quizá te sirva de ayuda el ejemplo de la página 140 del Calculus de Tom Apostol titulado "Volumen de un sólido de revolución" y el ejercicio que viene a continuación para calcular el volumen de un cono. Quizá sea el más fácil de todos. Supuesto alineado su eje con el eje z de coordenadas sería:

$v=\int_0^h \pi (zc)^2 \mathrm{d}z$

siendo h la altura y c la proporción entre la base y la altura (al ser un sólido de revolución sería la pendiente de la recta generadora).

Saludos.

[Afisionado]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Anoche al irme a dormir me di cuenta de que lo anterior es incorrecto
A ver. Partiendo de una recta tal que x=cz (o y=cz) al girar sobre el eje z genera un sólido de revolución cuyo volumen se halla como sigue: cada punto de la recta genera una suoerficie circular $s=\pi(cz)^2$. Al ir incrementando z tenemos que el radio de revolución se incrementa en cz hasta alcanzar el radio máximo. Entonces la integral del volumen sería:

$v=\int_0^{rmax} \pi (zc)^2 \mathrm{d}z$

Saludos.

[idontknow]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Eljose:

La verdad que me he quedado = lo siento

Afisionado:

No me interesa el volumen sino el area

General:

Pensandolo mejor me he percatado que el área es $\int_r^R 2r\pi \mathrm{d}r$ donde r radio min y R radio máx. ¿no? lo que no sé es como casarlo en el dS... ¿dS que sería? ¿dg*dA? Donde $dA=2r\pi\mathrm{d}r$

[Afisionado]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Eljose:

La verdad que me he quedado = lo siento

Afisionado:

No me interesa el volumen sino el area

General:

Pensandolo mejor me he percatado que el área es $\int_r^R 2r\pi \mathrm{d}r$ donde r radio min y R radio máx. ¿no? lo que no sé es como casarlo en el dS... ¿dS que sería? ¿dg*dA? Donde $dA=2r\pi\mathrm{d}r$

Ya caigo, lo que necesitas es la superficie del tronco del cono. Un diferencial sería entonces la circunferencia que genera un punto de la recta generatriz al girar alrededor del eje z. O sea, si el radio de la base del cono es igual a la altura del mismo, el dA sería

[FONT=Verdana]$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}z}= 2 \pi z$[/FONT]

Si radio y altura son distintos, introducimos la cte de proporcionalidad

[FONT=Verdana]$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}z}= 2 \pi cz$[/FONT]

Y la integral sería entonces

[FONT=Verdana]$A=\int_0^{rmax} 2\pi c z \mathrm{d}z$[/FONT]

[FONT=Verdana]Eso sería para un cono completo, para uno truncado ponemos en el límite inferior de la integral el radio menor [/FONT]

[FONT=Verdana][FONT=Verdana][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT]

[FONT=Verdana]Creo que es así.[/FONT]
[FONT=Verdana]Saludos.[/FONT]
[/FONT]

[Afisionado]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Quizá esto te sirva también de ayuda --> http://es.wikipedia.org/wiki/Tronco_de_cono

[idontknow]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Lo de wikipedia lo vi pero creo que estaba mal...

respecto a lo que tú pusiste es que estoy hecho un lío. A ver dado un tronco de cono, yo quiero una integral de fuerzas. El diferencial de fuerza es pgh por el trocito de área que coja pero claro h es la altura y dependiendo de h va a a ver un radio mayor o menor. No sé si me explico...

[Afisionado]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Si lo quieres hacer sustituyendo la altura h en lugar del eje z tienes que indicar cómo varía el radio en función de la altura. Como la pared del cono es una recta inclinada la función es del estilo r(h) = ch donde h es la altura y c la pendiente. La circunferencia generada por este radio sería $2\pi r(h) = 2\pi ch$. Y esa circunferencia es el diferencial de Area.

$\mathrm {d}S = 2\pi r(h) \mathrm{d} h= 2\pi ch \mathrm{d}h$

sustituyendo este dS en dF = PdS ya lo tienes ¿no?

[pod]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Eh, en estas cosas lo chungo siempre es encontrar el diferencial de superficie. Por suerte, existe la teoría general de integrales de superficie que nos permite encontrarlo. Para representar una superficie necesitamos dos parámetros, que podemos llamar u y v. Los puntos de la superficie vienen representados por tres funciones de esas dos variables,

$$\vec r = \Big( x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v) \Big) \ .$$

Entonces, el diferencial de superfície es un vector perpendicualr a la superficie (y dirigido hacia fuera si esta es cerrada) que viene dado por el producto vectorial fundamental

$$\dd \vec S = \frac{\partial \vec r}{\partial u} \times \frac{\partial \vec r}{\partial v} \, \dd u \dd v\ .$$

Si lo único que nos interesa es la superficie en si, no su orientación, nos quedaremos con el módulo de este vector. Nótese que si tomamos x e y como parámetros, entonces (y sólo entonces) el resultado de ese módulo es equivalente al cuadrado del gradiente (que es lo que puso eljose).

En este caso, la parametrización más útil para el cono (o tronco de) es en coordenadas cilíndricas,

$$\vec r = \Big( a z \cos\theta, \ a z\sin\theta, \ z \Big) \ .$$

Donde hemos usado que el cono se puede escribir como $r = a z$. Esa a estará relacionada con la tangente del ángulo de apertura del cono, o algo así. Haciendo los cálculos (con mathematica) a mi me da

$$\dd S = a \sqrt{1+a^2} z \dd\theta\dd z\ .$$

[idontknow]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Joder con el problemilla... aunque... ¿lo de afisionado está bien no? Porque mejor me quedo con lo suyo que es más de mi nivel

[pod]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Joder con el problemilla... aunque... ¿lo de afisionado está bien no? Porque mejor me quedo con lo suyo que es más de mi nivel

No sé. Si es equivalente a lo que he puesto yo (que es la teoría general), sí está bien.

[Afisionado]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Así a primera vista, sin tener conocimientos profundos del tema, me da la impresión de que la fórmula empleada por Pod es más general y sería de aplicación en problemas en los que interesara contemplar una superficie que variara en las tres dimensiones. Es decir, toma un diferencial de superficie en forma de punto que luego seguramente se sumará mediante una integral doble.

Pero el problema de idontknow trata de una variación de presión debida a la forma cónica de un recipiente donde todos los dS puntuales de un mismo nivel (o sea, una circunferencia) tienen la misma presión. Por tanto, en este caso es perfectamente utilizable el método usado para construir superficies de revolución, que es el que yo he usado.

Es como si tuvieras que buscar las fórmulas para calcular la velocidad de un triciclo. Desde luego, puedes usar las de la relatividad especial o incluso la general, pero te basta con las de la mecánica de Newton.

Saludos.

[pod]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Así a primera vista, sin tener conocimientos profundos del tema, me da la impresión de que la fórmula empleada por Pod es más general y sería de aplicación en problemas en los que interesara contemplar una superficie que variara en las tres dimensiones. Es decir, toma un diferencial de superficie en forma de punto que luego seguramente se sumará mediante una integral doble.

Pero el problema de idontknow trata de una variación de presión debida a la forma cónica de un recipiente donde todos los dS puntuales de un mismo nivel (o sea, una circunferencia) tienen la misma presión. Por tanto, en este caso es perfectamente utilizable el método usado para construir superficies de revolución, que es el que yo he usado.

Es como si tuvieras que buscar las fórmulas para calcular la velocidad de un triciclo. Desde luego, puedes usar las de la relatividad especial o incluso la general, pero te basta con las de la mecánica de Newton.

Saludos.

Es el método general que vale para cualquier superficie, y por eso se estudia en primero o segundo. Cualquier otro método tiene que dar el mismo resultado o es incorrecto. No me parece que tu expresión dS sea equivalente a la que da este método.

Un test sencillo es calcular el área lateral del cono, que es igual a $\pi R g = \pi R \sqrt{R^2 + h^2}$. "Mi" expresión lo reproduce correctamente.

[Afisionado]

Re: Una ayudita con un tronco de cono...

Ejem dos pequeñas correcciones:
-- los límites de integración no son los radios mínimo y máximo sino la altura mínima y máxima del cono truncado.
-- en la fórmula de superficie de revolución falta añadir $\sqrt {1 + (f'(x))^2}$ que en nuestro caso se convierte en $\sqrt {1 + c^2}$

"Mi" fórmula queda entonces convertida en

[FONT=Verdana][FONT=Verdana]$S=\int_{h_1}^{h_2} (2\pi ch \sqrt {1 + c^2}) \mathrm{d}h =$[/FONT][/FONT]

[FONT=Verdana][FONT=Verdana]$= 2\pi c \sqrt {1 + c^2} \int_{h_1}^{h_2} h \mathrm{d}h =$[/FONT][/FONT]

[FONT=Verdana][FONT=Verdana][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT][/FONT]
[FONT=Verdana][/FONT]
[FONT=Verdana]Comprobación:[/FONT]
Si ahora tomamos $h_1 = 0$ y $h_2 = h$, y sustituimos en la fórmula "de Pod" R por ch tenemos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$=\pi c \sqrt {1 + c^2} h^2$ que coincide con "la mía".

Gracias por la ayuda, Pod.
Saludos.