Secundaria Vectores

[josepapaiii]

Hola a todos. Como veréis con mi pregunta, soy algo inexperto en el campo de la Física. Hay una duda que me ha surgido, ¿qué indica realmente el producto escalar de dos vectores?, por lo que leo en wikipedia y demás son definiciones muy formales, pero no consigo entenderlo. La duda me viene por la proyección de dos vectores. Tengo un ejercicio que me pide calcular la proyección de un vector a y un vector b. La cosa es sencilla, y me sale -2, ¿qué es ese -2?

Gracias de antemano en el caso o no de resolverlo.

Un saludo a todo el foro.

[Juanma1976]

Re: Vectores

Hola, vamos a interpretar el significado del producto escalar.
Nos quedamos con la definición de producto en el plano.
Si $\vec a=(a_1,a_2)$ y $\vec b=(b_1,b_2)$, el producto se define

$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2$

Si te piden la proyección de un vector sobre otro, te piden la componente de un vector en la dirección del otro.

Por ejemplo, sabemos que

$b=\lambda_1 \vec a + \lambda_2 \vec a^T$, esto es, se descompone como una parte en la dirección de $\vec a$ más otra en la dirección perpendicular.

Por definición de producto escalar,

$\vec a\cdot \vec b=\lambda_1 \vec a\cdot \vec a + \underbrace{\lambda_2 \vec a\cdot \vec a^T}_{=0}=\lambda_1 \vec a\cdot \vec a=\lambda_1||\vec a||^2$

con lo que ya tenemos la proyección

$\lambda_1=\frac{\vec a\cdot \vec b}{||\vec a||^2}$

de donde el producto escalar te da la proyección.
En tu caso $\lambda_1=-2$ te dice que la proyección consiste en multiplicar por -2 el vector sobre el que se proyecta.

Saludos.

Hola a todos. Como veréis con mi pregunta, soy algo inexperto en el campo de la Física. Hay una duda que me ha surgido, ¿qué indica realmente el producto escalar de dos vectores?, por lo que leo en wikipedia y demás son definiciones muy formales, pero no consigo entenderlo. La duda me viene por la proyección de dos vectores. Tengo un ejercicio que me pide calcular la proyección de un vector a y un vector b. La cosa es sencilla, y me sale -2, ¿qué es ese -2?

Gracias de antemano en el caso o no de resolverlo.

Un saludo a todo el foro.

[pod]

Re: Vectores

El significado geométrico del producot escalar es "el (coseno del) ángulo que forman los dos vectores". Si los dos vectores son unitarios, entonces

$$\vec a \cdot \vec b = \cos\theta\ .$$

Si los vectores no son unitarios, entonces hay que tener en cuenta el módulo, y la ecuación pasa a ser

$$\vec a \cdot \vec b = |a| \, |b| \, \cos\theta\ .$$

Que te salga negativo, significa que el ángulo es mayor a noventa grados. Es decir, si tomas uno de los vectores como referencia, $\vec a$ por ejemplo, entonces la componente del otro vector $\vec b$ que es paralela al primero tiene sentido contrario a $\vec a$.

Si te diera cero, significaría que no hay componente paralela, serían vectores perpendiculares.